We present a new theoretical approach, based on the Hamiltonian formalism, to investigate the stability of islands in phase space, generated by trapping of energetic particles (EPs) in plasma waves in a tokamak. This approach is relevant to MHD modes driven by EPs (EP-MHD) such as toroidal Alfvén eigenmodes (TAEs), EP-driven geodesic acoustic modes (EGAMs) or fishbones. A generic problem of a single isolated EP-MHD mode is equivalent to and hence can be replaced by a 2D Hamiltonian dynamics in the vicinity of the phase space island. The conventional Langmuir wave/bump-on-tail problem is then used as a representative reduced model to describe the dynamics of the initial EP-MHD.Solving the Fokker–Planck equation in the presence of pitch angle scattering, velocity space diffusion and drag and retaining plasma drifts in a model, we find a 'perturbed' equilibrium, associated with these phase space islands. Its stability is then explored by addressing the Vlasov/Fokker–Planck–Poisson system. The Lagrangian of this system provides the dispersion relation of the secondary modes and allows an estimate of the mode onset. The secondary instabilities have been confirmed to be possible but under certain conditions on the primary island width and in a certain range of mode numbers. The threshold island width, below which the mode stability is reached, is calculated. The secondary mode growth rate is found to be maximum when the associated resonant velocity approaches the boundary of the primary island. This, in turn, leads to a conclusion that the onset of the secondary mode can be prevented provided the primary wave number is the lowest available.
我々は、トカマクにおけるプラズマ波動中の高エネルギー粒子（EP）の捕捉によって生成される位相空間島の安定性を調べるための、ハミルトン形式に基づく新しい理論的アプローチを提示する。このアプローチは、トロイダルアルフヴェン固有モード（TAE）、EP駆動地磁気音響モード（EGAM）、フィッシュボーンなどのEP駆動MHDモード（EP-MHD）に関連する。単一の孤立したEP-MHDモードの一般的な問題は、位相空間島の近傍における2次元ハミルトン力学と等価であり、したがってそれによって置き換えることができる。従来のラングミュア波動／バンプ・オン・テイル問題は、初期のEP-MHDを記述するための代表的なモデルとして用いられる。ピッチ角散乱、速度空間拡散、およびドラッグを伴うフォッカー・プランク方程式を、プラズマ中のドリフトを保持したまま解くことにより、これらの位相空間島に関連する「摂動を受けた」平衡状態を求める。次に、その安定性は、ブラゾフ／フォッカー・プランク・ポアソン方程式系を扱うことによって調べられる。この系のラグランジアンは、二次モードの分散関係を提供し、モードの発生の推定を可能にする。二次モードの発生は、一次島幅に関する特定の条件下で、また特定のモード数の範囲内でのみ可能であることが確認されている。モードの安定性が維持される閾値島幅が計算される。二次モードの成長率は、関連する共鳴速度が一次島の境界に近づくときに最大となることが見出された。これは、一次波数が利用可能な最小のものである場合、二次モードの発生を防ぐことができるという結論につながる。