We derive the kinetic theory of fluctuations in physically and numerically stable particle-in-cell (PIC) simulations of electrostatic plasmas. The starting point is the single-time correlation at the start of the simulation between the statistical fluctuations of the weighted densities of macroparticle centers in the plasma particle phase-space. The fluctuations are associated with different initial conditions, typically due to the random initial conditions (in velocity space) of the macroparticles/simulation plasma, assigned according to their initial distribution of probability. The single-time correlations at all time steps and in each spatial grid cell are then determined from the Laplace–Fourier transforms of the discretized Klimontovich-like equation for the macroparticles and Maxwell's equations for the fields, as computed by modern PIC codes. We recover the expressions for the electrostatic field and the plasma particle density fluctuation autocorrelation spectra as well as the kinetic equations describing the average evolution of PIC-simulated plasma particles, first derived by Langdon (1970b Proc. 4th Conf. Numerical Simulation of Plasmas) using a test macroparticle approach perturbing a discretized Vlasovian plasma and then averaging the obtained physical quantity over the initial macroparticle velocity distribution. We generalize and extend these results to the modern algorithms in PIC codes using arbitrary macroparticle weights. Analytical estimates of statistical fluctuation amplitudes are derived as a function of the plasma simulation parameters, using the central limit theorem in the limit of a large number of macroparticles per cell. The theory is then used to analyze the ensemble averaging technique of PIC simulations where statistical averages are performed over ensembles of PIC simulations, modeling the same plasma physics problem but using different statistical realizations of the initial distribution functions of the macroparticles. This method is illustrated by linear Landau damping uncovering (from noise, which is usually considered numerical) the physical fluctuations driven by a single small amplitude electrostatic wave perturbing a PIC simulation plasma in equilibrium.
我々は、静電プラズマの物理的および数値的に安定な粒子インセル（PIC）シミュレーションにおけるゆらぎの運動論を導出する。出発点は、シミュレーション開始時における、プラズマ粒子位相空間内のマクロ粒子中心の重み付き密度の統計的ゆらぎ間の単一時間相関である。そのゆらぎは、異なる初期条件に関連しており、典型的には、マクロ粒子/シミュレーションプラズマの（速度空間における）ランダムな初期条件によるもので、それらの初期確率分布に従って割り当てられる。その後、すべての時間ステップおよび各空間グリッドセルにおける単一時間相関は、マクロ粒子に対する離散化されたクリモントビッチ類似方程式と、場に対するマクスウェル方程式のラプラス・フーリエ変換から決定される。これは現代のPICコードによって計算される。我々は、静電場およびプラズマ粒子密度ゆらぎの自己相関スペクトルの式と、PICシミュレーションされたプラズマ粒子の平均的な進化を記述する運動方程式を再現する。これらは、Langdon（1970b Proc. 4th Conf. Numerical Simulation of Plasmas）によって最初に導出されたものであり、彼は離散化されたブラソフ的プラズマに摂動を与えるテストマクロ粒子法を用い、得られた物理量を初期マクロ粒子速度分布にわたって平均化した。我々は、任意のマクロ粒子重みを用いるPICコードにおける現代のアルゴリズムに対して、これらの結果を一般化し拡張する。ゆらぎ振幅の統計的推定は、セルあたりのマクロ粒子数が大きい極限における中心極限定理を用いて、プラズマシミュレーションパラメータの関数として導出される。次に、この理論は、PICシミュレーションのアンサンブル平均化手法を解析するために用いられる。そこでは、同じプラズマ物理問題をモデル化するが、マクロ粒子の初期分布関数の異なる統計的実現を用いるPICシミュレーションのアンサンブルにわたって統計的平均が行われる。この手法は、平衡状態にあるPICシミュレーションプラズマを摂動する単一の小振幅静電波によって駆動される物理的ゆらぎを（通常は数値的と見なされるノイズから）明らかにする線形ランダウ減衰によって例示される。