The behaviour of the field lines in a torus is analogous to the motion of a non-linear oscillator. If , small and positive, is the perturbation parameter, a toroidal system in which terms of higher order than are assumed to give nonobservable contributions is considered. For large non-linearity (x ≫ 1/2) it was found that two sets of resonances are sufficient to explain the destruction of the magnetic surfaces in the toroidal system. Resonances that transform the unperturbed surfaces into a structure of magnetic islands are called primary resonances, and the secondary resonances transform the bound-statelike contours of a given island into similar structures of secondary magnetic islands. To every primary island two types of stochasticity are attached, an external one due to the overlapping of primary resonances and an internal one due to the overlapping of secondary resonances. Depending on the resonance and the system, the destruction of the magnetic surfaces occurs by either or both processes. For small non-linearity (x ≲ 1/2) the magnetic contours oscillate in a highly irregular fashion and, therefore, overlap causing orbital instabilities. The orbital instabilities are more pronounced for larger fluxes but do not always destroy the flux surfaces at the separatrix. Independently of how small (> 0) is, the flux surfaces are always destroyed at the separatrix, if not by external, then by internal stochasticity. In the immediate neighbourhoods of the elliptic singularities, the field lines are orbitally stable for all non-linearities. These neighbourhoods are small and may become observable for small . For the levitron, the theoretical perturbations for which some of the primary resonances are completely destroyed were calculated. These theoretical values are given in the paper; they are in good agreement with the numerical results.
トーラス内の磁力線の挙動は、非線形振動子の運動と類似している。摂動パラメータが小さく正である場合、トーラス系において高次の項が非可観測な寄与を与えると仮定される。大きな非線形性（x ≫ 1/2）に対しては、二組の共鳴が磁気面の破壊を説明するのに十分であることが見出された。一次共鳴は非摂動磁気面を内部構造へと変換し、二次共鳴はその境界をより微細な構造へと変換する。各一次共鳴には二種類の確率性が付随する。すなわち、一次共鳴の重なりに起因する外部確率性と、二次共鳴の重なりに起因する内部確率性である。系と共鳴に応じて、磁気面の破壊はこれらの過程の一方または両方によって生じる。小さな非線形性（x ≲ 1/2）に対しては、磁気輪郭は高度に不規則に振動し、それによって重なりが生じて軌道不安定性を引き起こす。軌道不安定性はより大きなフラックスに対してより顕著であるが、セパラトリックス上の磁気面を常に破壊するわけではない。正の摂動パラメータがどれほど小さくても、セパラトリックス上の磁気面は、外部確率性によらずとも内部確率性によって常に破壊される。楕円特異点の近傍では、磁力線はすべての非線形性に対して軌道安定である。これらの近傍領域は小さく、小さな摂動パラメータに対して観測可能となる場合がある。レビトロンに対しては、いくつかの一次共鳴が完全に破壊される理論的摂動値が計算された。これらの理論値は論文に記載されており、数値結果と良好な一致を示している。