A theoretical framework has been developed to describe the nonlinear regimes of line-tied g modes in slab geometry and ballooning instabilities in toroidal configurations. Recent experimental observation and numerical simulations demonstrate a persistence of ballooning-like filamentary structures well into the nonlinear stage of edge localized mode (ELM) activity in H-mode plasmas. Our theory is based on an expansion using two small scale lengths, the mode displacement across magnetic flux surfaces and the mode width in the most rapidly varying direction, both normalized by the equilibrium scale length. When the mode displacement across the magnetic flux surface is much less than the mode width in the most rapidly varying direction, the mode is in the linear regime. When the mode displacement grows to the order of the mode width in the rapidly varying direction, the plasma remains incompressible to lowest order, and the Cowley–Artun regime is obtained. The detonation regime, where the nonlinear growth of the mode could be finite-time singular, is accessible when the system is sufficiently close to marginal stability. At higher levels of nonlinearity, the system evolves to the intermediate nonlinear regime, when the mode displacement across the magnetic flux surface becomes comparable to the mode width in the same direction. During this phase, the nonlinear growth of the mode in the parallel and perpendicular directions are coupled, and sound wave physics contributes to nonlinear stability. The governing equations for the line-tied g mode and the ballooning instability in the intermediate nonlinear regime have been derived. A remarkable feature of the nonlinear equations is that solutions of the associated local linear mode equations continue to be valid solutions into the intermediate nonlinear regime in a Lagrangian reference frame. This property has been confirmed in the full ideal MHD simulations of both the line-tied g mode in a shearless slab and the ballooning instability in a tokamak, and may help explain the growth and persistence of the filamentary structures observed in ELM experiments well into the nonlinear phase.
線状固定gモードの非線形領域と、トロイダル配位におけるバルーニング不安定性を記述するための理論的枠組みが構築された。最近の実験的観測と数値シミュレーションは、Hモードプラズマにおける周辺局在モード（ELM）活動の非線形段階へと深く進行しても、バルーニング状のフィラメント構造が持続することを実証している。本理論は、モード変位とモード幅という二つの小さなスケール長を用いた展開に基づく。両者はともに平衡スケール長で規格化される。モード変位がモード幅よりもはるかに小さい場合、モードは線形領域にある。モード変位がモード幅のオーダーにまで成長すると、プラズマは最低次で非圧縮性を保ち、Cowley–Artun領域が得られる。系が十分に限界安定状態に近い場合、非線形成長が有限時間特異性を示す可能性があるデトネーション領域が到達可能となる。さらに高次の非線形性では、モード変位がモード幅と同程度になる中間非線形領域へと系は遷移する。この段階では、平行方向と垂直方向の非線形成長が結合し、音波物理が非線形安定性に寄与する。線状固定gモードとバルーニング不安定性に対する中間非線形領域の支配方程式が導出された。これらの非線形方程式の顕著な特徴は、対応する線形局所モード方程式の解が、ラグランジュ描像において中間非線形領域でも有効な解であり続けることである。この性質は、シアのないスラブにおける線状固定gモードとトカマクにおけるバルーニング不安定性の両方に対する完全MHDシミュレーションによって確認されており、ELM実験において非線形位相深くまで観測されるフィラメント構造の成長と持続を説明する手がかりとなる可能性がある。