Fast and accurate solutions of the Grad–Shafranov (GS) equation are essential for equilibrium analysis, integrated modeling, and surrogate model construction in magnetic confinement fusion. Motivated by the fundamental question of what is the minimum number of free parameters required to represent solutions of the GS equation, we propose a highly compact spectral representation framework for fixed-boundary equilibria. We demonstrate that, for most practical applications, GS equilibria can be represented using only 3–5 free parameters while maintaining relative errors below 5%. For higher-accuracy requirements, we introduce a unified spectral representation based on the Miller extended harmonic (MXH) expansion in the poloidal direction combined with shifted Chebyshev (Cheb) polynomials in the radial direction. This MXH-Cheb basis exhibits rapid convergence for two-dimensional GS equilibria. For configurations where three geometric moments (shift, elongation, and triangularity) are specified at the last closed flux surface, relative errors on the order of – can be achieved using as few as 15–20 parameters. In more general cases, including up–down asymmetric equilibria, -point configurations, and stiff pressure and current profiles (e.g. H-mode pedestals), high-fidelity representations can be obtained with fewer than 100 parameters. The resulting equilibrium configurations and profile functions are fully analytical, with smooth derivatives of all orders. These results provide a systematic foundation for developing future high-fidelity, ultra-fast GS solvers and enable efficient reduced-order and AI-based surrogate modeling of tokamak equilibria.
高速かつ高精度なGrad–Shafranov（GS）方程式の解は、磁気閉じ込め核融合における平衡解析、統合モデリング、およびサロゲートモデル構築に不可欠である。GS方程式の解を表現するために必要な自由パラメータの最小数は何かという根本的な問いに動機づけられ、我々は固定境界平衡のための極めてコンパクトなスペクトル表現フレームワークを提案する。ほとんどの実用的な応用において、GS平衡はわずか3〜5個の自由パラメータを用いて、相対誤差を5%未満に維持しながら表現できることを実証する。より高精度な要求に対しては、ポロイダル方向のMiller拡張高調波（MXH）展開と、ラジアル方向のシフトチェビシェフ（Cheb）多項式を組み合わせた統一スペクトル表現を導入する。このMXH-Cheb基底は、2次元GS平衡に対して急速な収束を示す。最後の閉磁気面で3つの幾何学的モーメント（シフト、伸長率、三角形度）が指定される配位では、わずか15〜20個のパラメータを用いて、– オーダーの相対誤差を達成できる。上下非対称平衡、–点配位、および急峻な圧力・電流プロファイル（例えばHモードペデスタル）を含むより一般的な場合では、100個未満のパラメータで高忠実度の表現を得ることができる。得られる平衡配位とプロファイル関数は完全に解析的であり、すべての次数の滑らかな導関数を有する。これらの結果は、将来の高忠実度・超高速GSソルバーの開発のための体系的な基盤を提供し、トカマク平衡の効率的な縮退次数モデルおよびAIベースのサロゲートモデリングを可能にする。