The Grad–Shafranov (GS) equation is a nonlinear elliptic partial differential equation that governs the ideal magnetohydrodynamic equilibrium of a tokamak plasma. Previous studies have demonstrated the existence of multiple solutions to the GS equation when solved in idealistic geometries with simplified plasma current density profiles and boundary conditions. Until now, the question of whether multiple equilibria might exist in real-world tokamak geometries with more complex current density profiles and integral free-boundary conditions (commonly used in production-level equilibrium codes) has remained unanswered. In this work, we discover multiple solutions to the static forward free-boundary GS problem in the MAST-U tokamak geometry using the validated evolutive equilibrium solver FreeGSNKE and the deflated continuation algorithm. By varying the plasma current, current density profile coefficients, or coil currents in the GS equation, we identify and characterise distinct equilibrium solutions, including both deeply and more shallowly confined plasma states. We suggest that the existence of even more equilibria is likely prohibited by the restrictive nature of the integral free-boundary condition, which globally couples poloidal fluxes on the computational boundary with those on the interior. We conclude by discussing the implications of these findings for wider equilibrium modelling and emphasise the need to explore whether multiple solutions are present in other equilibrium codes and tokamaks, as well as their potential impact on downstream simulations that rely on GS equilibria.
Grad–Shafranov（GS）方程式は、トカマクプラズマの理想磁気流体平衡を支配する非線形楕円型偏微分方程式である。これまでの研究では、理想化された幾何学形状と単純化されたプラズマ電流密度分布および境界条件のもとでGS方程式を解いた場合に、複数の解が存在することが実証されてきた。これまで、より複雑な電流密度分布と積分自由境界条件（実運用レベルの平衡コードで一般的に使用される）を備えた実世界のトカマク幾何学形状においても複数の平衡が存在しうるのかという問いは、未解決のまま残されていた。本研究では、検証済みの発展平衡ソルバーFreeGSNKEとデフレーション継続アルゴリズムを用いて、MAST-Uトカマク幾何学形状における静的順問題自由境界GS問題の複数の解を発見する。GS方程式においてプラズマ電流、電流密度分布係数、またはコイル電流を変化させることにより、深く閉じ込められたプラズマ状態とより浅く閉じ込められたプラズマ状態の両方を含む、異なる平衡解を特定し特徴づける。我々は、さらに多くの平衡の存在は、計算境界上のポロイダル磁束を内部のポロイダル磁束と大域的に結合する積分自由境界条件の制約的な性質によって、おそらく妨げられていると示唆する。最後に、これらの発見がより広範な平衡モデリングに与える影響について議論し、他の平衡コードやトカマクにおいても複数の解が存在するかどうかを調査する必要性、およびGS平衡に依存する下流シミュレーションへの潜在的な影響を強調する。