トカマク平衡

トカマク平衡とは、トカマク型核融合装置内でプラズマが巨視的(磁気流体力学的)に力学的釣り合いを保って定常的に存在しうる磁場・圧力・流れの分布のことである。トカマクでは、トロイダル(環状)コイルとプラズマ電流が作る磁場がらせん状の磁力線を形成し、その磁力線が磁気面と呼ばれる入れ子状の閉じた曲面をなす。平衡の問題は、与えられた圧力分布や電流分布のもとでこの磁気面の形と磁場構造を求める問題に帰着し、装置設計、放電制御、安定性解析、輸送解析のすべての基礎となる。以下では、力の釣り合いを記述する基礎方程式から始め、解析解と数値解、流れや圧力異方性を含む一般化、そして断面形状と安定性限界との関係を順に述べる。

力の釣り合いとグラード・シャフラノフ(Grad–Shafranov)方程式

軸対称な静的平衡の基礎は、磁気流体力学(MHD)の運動方程式から出る力の釣り合い

j × B = ∇p

である。ここで j は電流密度、B は磁場、p はプラズマ圧力である。この式は「圧力勾配を支えるのは電流が受けるローレンツ力である」ことを意味し、平衡のすべての性質はこの一式に集約される。軸対称性を仮定すると、磁場はポロイダル磁束 ψ を用いて B = ∇φ × ∇ψ + F(ψ)∇φ の形に書ける(φ はトロイダル角、F = RB_φ はポロイダル電流を表す関数)。この表現を使うと力の釣り合いは単一の非線形楕円型偏微分方程式、すなわちグラード・シャフラノフ方程式

Δ*ψ = −μ₀ R² p′(ψ) − F F′(ψ)

に帰着する。ここで Δ* はトロイダル座標における特殊な2階微分演算子、プライムは ψ による微分を表す。p(ψ) と F(ψ) は自由関数と呼ばれ、実験では圧力分布と電流分布の測定から与えられる。

この方程式が示す重要な帰結の一つは、平衡量がすべて磁気面の関数になるとは限らないことである。圧力は磁束の関数 p(ψ) として書けるが、磁気面上での分布は一様とは限らず、特に流れがある場合や異方性がある場合には面上で変化しうる(後述)。また、平衡の幾何学は無次元量アスペクト比(プラズマ大半径と小半径の比)、断面の細長比、三角形化量などで特徴づけられ、これらが後述の安定性限界を直接左右する。

平衡の存在には限界がある。圧力を上げすぎると磁場の張力が圧力勾配を支えきれなくなり、平衡そのものが存在しなくなる。この限界はベータ値 β = 2μ₀p/B²(プラズマ圧力の磁気圧に対する比)で表され、非円形断面では正規化ベータ β_N = β aB/I(I はプラズマ電流)が用いられる。円形断面で圧力分布が中心に尖った場合の β_N は数パーセント(mT/MA)程度に抑えられるが、これは後述する形状・分布最適化によって大きく改善できる。

解析解と数値解

グラード・シャフラノフ方程式は非線形であるため、一般には数値的に解かれるが、解析解は平衡の性質を理解する上で依然として重要な役割を果たす。最も古典的なのはソロヴィエフ(Soloviev)解で、自由関数を線形化した近似のもとで厳密解が得られ、非円形断面やダイバータ配置の基本的な性質を調べるのに用いられてきた。ソロヴィエフ解を修正・拡張した解析解は、高ベータ平衡や流れを含む平衡にも拡張されており、例えばポロイダル音速に匹敵する流れがある高ベータ平衡の解析解では、非円形の磁気面と、亜音速から超音速へのポロイダル流の遷移が示される。このような解析解から磁束座標を構成すれば、安定性解析に直接使える平衡モデルが得られる。

一方、実験に対応する現実的な平衡は数値コードで求められる。平衡コードは、干渉計や磁気プローブ、ムーレイ・トムソン散乱などの測定を入力としてグラード・シャフラノフ方程式を解き、磁気面形状、安全因子分布、電流分布を再構成する。代表的な手法として、実験データに基づいて平衡を再構成するEFIT系のコードや、安定性解析用に磁束座標で高精度に解くHELENAなどがあり、これらは運転制御から理論解析まで広く使われている。数値解では自由関数を適切な基底関数で展開し、非線形項を反復で扱うのが標準的であり、拡張された力の釣り合いモデル(流れ・異方性を含むもの)でも同程度の収束性と計算速度が得られることが示されている。

特殊な構造を持つ平衡も研究されてきた。ダイバータ配置ではセパラトリックスがX点を持ち、その内側とスクレイプオフ層を一つの解で記述できることが望ましい。変数分離法に基づく半解析的手法では、少数の基底関数でダブルヌルのダイバータ平衡を記述できる。また、プラズマ中心部に電流がゼロまたは負の領域を持つ平衡(負中心磁気シア配置の極限)や、多重極的な磁場構造を持つ平衡など、通常と異なる電流・磁場分布を持つ平衡の存在と性質も調べられている。さらに、電流分布の変化が平衡に分岐をもたらし、電流の縮小とディスラプション(急速な放電終息)に関連する複数の平衡解が存在しうることも示されており、平衡問題は単一の解を持つとは限らない。

流れと圧力異方性を含む平衡

古典的なグラード・シャフラノフ方程式は静的で等方的な圧力を仮定するが、現実のトカマクプラズマは中性ビーム入射やイオンサイクロトロン共鳴加熱によってかなりのトロイダル回転を持ち、また加熱方式によっては平行方向と垂直方向の圧力が異なる異方性を持つ。このため、力の釣り合いの一般化が重要となる。

流れを含む場合、遠心力とコリオリ力が力の釣り合いに加わる。トロイダル流の場合、その効果はポロイダル電流を表す関数 F の修正として現れ、流れの速度がイオン音速に近づくと平衡形状への影響が無視できなくなる。ポロイダル流や非圧縮性の一般の流れを含む一般化グラード・シャフラノフ方程式も研究されており、ポロイダル流の存在は電流面を磁気面からずれさせることが分かっている。また、シアを持つポロイダル流はトロイダル電流成分を誘起し、これがペデストルのピーリング・バルーニング安定性に影響しうる。単一流体モデルと二流体モデル(イオンと電子を別々に扱うモデル)の違いも平衡に反映され、両者で平衡量に定量的な差が生じうる。運動論的な取り扱いでは、分布関数から出発するブラソフ(Vlasov)平衡が構成され、流体モデルの平衡と対応づけられている。

圧力異方性の場合、力の釣り合いは j × B = ∇·P となり、ここで P は平行・垂直圧力からなる圧力テンソルである。異方性は磁気面の形状、磁気軸のシフト、そして圧力・密度の等高線の磁気面からのずれに影響する。例えば MAST のような球状トカマク平衡で p∥/p⊥ ≈ 1.5 の異方性があると、磁気面上で垂直圧力が2割程度変化しうる。実用上よく用いられる近似として、異方性を平均圧力 p* = (p∥ + p⊥)/2 の等方圧力で置き換えるやり方があるが、これで p* を正しく再現できてもトロイダル電流の再構成は不正確になる。実際、p∥/p⊥ ≈ 1.25 の放電を等方モデルと異方性モデルで再構成すると、トロイダル磁場で3%、ポロイダル電流では66%もの差が生じうることが示されており、異方性の取り扱いは平衡再構成の精度に直接効く。異方性はまた、捕捉粒子のトロイダル進み(プレセッション)や有効捕捉粒子割合にも影響し、輸送や高速イオン安定性の解析にも波及する。

断面形状とMHD安定性限界

平衡はそれ自体が目的ではなく、その価値はMHD安定性限界に対してどれだけ良い出発点を与えるかにある。理想MHD安定性、とりわけ n = 1 の外部キンクモードは正規化ベータの主要な制限因子であり、その限界は平衡の断面形状と圧力・電流分布に強く依存する。

形状の効果は定量的に大きい。円形断面では β_N が数パーセント(mT/MA)程度に限られるが、断面を垂直方向に引き伸ばし、三角形化を与える強い形状制御は、安全因子を固定したままベータを大きく引き上げる。さらに圧力分布を広げる(中心に尖らせない)ことと形状制御を組み合わせると、両者の効果は単純に加算ではなく相乗的に働き、ベータおよび二乗平均ベータ β* を数倍に増大できる。この大きな改善には近接する導体壁による安定化の寄与が大きい。最適な圧力分布と断面形状のもとではプラズマと壁の結合が強まり、壁がキンクモードを効果的に抑えるからである。同時に、広い圧力分布と強い形状制御はブートストラップ電流分布を全電流分布に整合させ、定常運転に必要な電流駆動を最小化する。このような分布と形状の最適化の傾向は、個々の分布の選び方による変動を超えて頑健である。

安定性限界に達した平衡の振る舞いも平衡論の対象である。理想MHD安定性と抵抗MHD安定性の両面から平衡の分類が行われ、ベータ限界近傍での安定・不安定の境界が評価される。ペデストルを持つ高ベータ平衡では、境界条件(例えば線結合の効果)が安定性に影響しうる。また、三次元的な摂動(トロイダルフィールドのリップルや外部コイルによる非軸対称場)は、本来軸対称な平衡をわずかに歪める。有限ベータではこのリップルが修正されることがあり、またキンクモードへのランダウ共鳴的な寄与が三次元平衡の構造を変える。これらの三次元効果の定量的な検証は、線形理想MHDモデルの妥当性確認を通じて進められている。

平衡研究の到達点をまとめれば、静的・等方的な軸対称平衡はグラード・シャフラノフ方程式として確立され、実験的な再構成から高ベータ・流れ・異方性を含む一般化まで体系的に理解されている。残る発展の方向は、より運動論に近い平衡モデルの実験データへの適用と、三次元効果や分岐を含む平衡の安定性評価であり、これらはディスラプション回避や定常運転設計に直結する課題である。