トカマク平衡

トカマク平衡とは、トカマク型核融合装置内でプラズマが巨視的(磁気流体力学的)に力学的釣り合いを保って定常的に存在しうる磁場・圧力・流れの分布のことである。トカマクでは、トロイダル(環状)コイルとプラズマ電流が作る磁場がらせん状の磁力線を形成し、その磁力線が磁気面と呼ばれる入れ子状の閉じた曲面をなす。平衡の問題は、与えられた圧力分布や電流分布のもとでこの磁気面の形と磁場構造を求める問題に帰着し、装置設計、放電制御、安定性解析、輸送解析のすべての基礎となる。以下では、力の釣り合いを記述する基礎方程式から始め、解析解と数値解、流れや圧力異方性を含む一般化、そして断面形状と安定性限界との関係を順に述べる。

力の釣り合いとグラード・シャフラノフ(Grad–Shafranov)方程式

軸対称な静的平衡の基礎は、磁気流体力学(MHD)の運動方程式から出る力の釣り合い

j × B = ∇p

である。ここで j は電流密度、B は磁場、p はプラズマ圧力である。この式は「圧力勾配を支えるのは電流が受けるローレンツ力である」ことを意味し、平衡のすべての性質はこの一式に集約される。軸対称性を仮定すると、磁場はポロイダル磁束 ψ を用いて B = ∇φ × ∇ψ + F(ψ)∇φ の形に書ける(φ はトロイダル角、F = RB_φ はポロイダル電流を表す関数)。この表現を使うと力の釣り合いは単一の非線形楕円型偏微分方程式、すなわちグラード・シャフラノフ方程式

Δ*ψ = −μ₀ R² p′(ψ) − F F′(ψ)

に帰着する。ここで Δ* はトロイダル座標における特殊な2階微分演算子、プライムは ψ による微分を表す。p(ψ) と F(ψ) は自由関数と呼ばれ、実験では圧力分布と電流分布の測定から与えられる。

この方程式が示す重要な帰結の一つは、平衡量がすべて磁気面の関数になるとは限らないことである。圧力は磁束の関数 p(ψ) として書けるが、磁気面上での分布は一様とは限らず、特に流れがある場合や異方性がある場合には面上で変化しうる(後述)。また、平衡の幾何学は無次元量アスペクト比(プラズマ大半径と小半径の比)、断面の細長比、三角形化量などで特徴づけられ、これらが後述の安定性限界を直接左右する。

平衡の存在には限界がある。圧力を上げすぎると磁場の張力が圧力勾配を支えきれなくなり、平衡そのものが存在しなくなる。この限界はベータ値 β = 2μ₀p/B²(プラズマ圧力の磁気圧に対する比)で表され、非円形断面では正規化ベータ β_N = β aB/I(I はプラズマ電流)が用いられる。円形断面で圧力分布が中心に尖った場合の β_N は数パーセント(mT/MA)程度に抑えられるが、これは後述する形状・分布最適化によって大きく改善できる。

解析解と数値解

グラード・シャフラノフ方程式は非線形であるため、一般には数値的に解かれるが、解析解は平衡の性質を理解する上で依然として重要な役割を果たす。最も古典的なのはソロヴィエフ(Soloviev)解で、自由関数を線形化した近似のもとで厳密解が得られ、非円形断面やダイバータ配置の基本的な性質を調べるのに用いられてきた。ソロヴィエフ解を修正・拡張した解析解は、高ベータ平衡や流れを含む平衡にも拡張されており、例えばポロイダル音速に匹敵する流れがある高ベータ平衡の解析解では、非円形の磁気面と、亜音速から超音速へのポロイダル流の遷移が示される。このような解析解から磁束座標を構成すれば、安定性解析に直接使える平衡モデルが得られる。