理想電磁流体力学

理想電磁流体力学（ideal magnetohydrodynamics、ideal MHD）とは、プラズマを電磁場と結合した単一の導電性流体として記述し、電気抵抗をはじめとするすべての非理想的（散逸的）効果を無視する、最も単純で最も広く用いられる磁気流体モデルである。磁気核融合研究においては、閉じ込め装置の平衡形状の決定、マクロ不安定性の有無の判定、そしてプラズマが装置の壁に触れるまでの大規模な振る舞いの理解に、第一義的な理論的枠組みとして使われてきた。散逸を捨象した代わりに、このモデルはトポロジーの保存（磁力線が流体に「凍結」されること）やエネルギー原理による厳密な安定性判定といった、強力な解析的道具を与える。以下では、まずモデルの仮定を述べ、次に平衡、線形安定性、波動と連続スペクトル、そして平衡流とモデルの限界という順に概観する。

理想MHDモデルとその仮定

理想MHDの基礎方程式は、質量保存、運動量保存（ρ dv/dt = J × B − ∇p）、圧力の断熱発展、そしてマクスウェル方程式の低周波極限（変位電流の無視）からなる。ここでJ = ∇×B であり、オームの法則は E + v×B = 0 という理想形をとる。この最後の式が本質的である：流体が横切れば磁力線も一緒に横切る、すなわち磁力線は流体に凍結される。その結果、磁気ヘリシティーのようなトポロジー不変量が保存され、磁力線の再結合は理想MHD内では原理的に起こらない。

このモデルが成り立つのは、衝突周波数やサイクロトロン周波数に比べて振動数が十分低く、空間スケールがイオンの慣性長や平均自由工程より十分大きい場合である。キネティック効果（高エネルギー粒子の共鳴、有限ラーマー半径、抵抗性再結合など）が重要になる現象では、理想MHDはあくまで「最低次の」記述であり、実験との比較ではしばしばキネティック補正を伴う検証が行われる。それでも、閉じ込めプラズマの大域的な圧力駆動不安定の成長率や臨界ベータ（β、プラズマ圧力と磁気圧力の比）の目安は、このモデルだけでかなり正確に予測できる。

理想MHD平衡と磁束面

平衡とは、流速が零（または定常流）で ∇p = J×B が成り立つ状態のことである。この力学的平衡式から直ちに、圧力は磁束面上で一定でなければならないことが従う。なぜなら B·∇p = 0 が要請されるからである。したがって、良く閉じ込められたプラズマの平衡は入れ子状の磁束面（トーラスではネストしたトロイダル面）で特徴づけられ、帯電粒子は磁力線に沿っては高速に動くが垂直方向にはほとんど動けないため、磁束面がプラズマと壁を断熱する役割を果たす。

軸対称なトカマクでは、グラード・シャフラノフ方程式が連続的な磁束面の族を許す。一方、本質的に三次元的なヘリカル装置（ステラレータ）では、磁束面の連続的な存在は保証されず、平衡ソルバー（VMEC、DESCなど）は入れ子状磁束面の存在を仮定してエネルギー最小化を行う。ここに理論上の微妙な問題が生じる。回転変換 ι（安全係数 q の逆数に相当）が有理数になる面では、磁力線は閉じる。圧力勾配が零でないと、電流の保存 ∇·J = 0 から磁力線に沿った微分方程式 B·∇(J∥/B) = B·(∇p×∇Ψ)/B² を解く必要があり、その解は有理面上で 1/x 型の特異性を持つ（ピルシュ・シュルーター電流）。この特異性が本当に発散電流を意味するのか、それとも数値的・摂動論的な人為物なのかは、三次元平衡の数学的基礎に関わる未解決問題であり、圧力勾配を含む強制再結合問題（Hahm–Kulsrud–Taylor問題）がその原型モデルとして解析・数値の両面から研究されてきた。

図はこの原型問題の設定を示す：面内磁場が中央面で反転し、上下境界に鏡像対称の正弦波摂動が与えられている。共鳴面上にはδ関数型のシート電流が発達し、圧力勾配はその近傍で代数的に発散するピルシュ・シュルーター電流を駆動する様子が描かれている。

三次元平衡の具体例として、ヘリカル装置W7-Xの低回転変換配置の磁束面を三つの断面で示す。

図は同じ平衡を三つのトロイダル角 φ で切った断面であり、磁軸（＋印）の周りに入れ子状の等圧・等磁束輪郭が、断面ごとに香蕉形から三角形へと形を変えながら描かれている。この断面に沿った形状の変化そのものが、三次元平衡の本質的な特徴である。

線形安定性とエネルギー原理

理想MHD安定性の中心的な道具はエネルギー原理である。平衡からの微小変位 ξ に対して、系のポテンシャルエネルギー変化 δW を変位の二次形式として書き、δW > 0 なら安定、δW < 0 なら不安定（成長率は固有値問題から求まる）と判定する。δW は磁場の曲げ（磁力線を伸ばすことによるエネルギー増加）、圧縮、そして圧力勾配と磁気曲率の相互作用による駆動項に分けられる。磁力線の曲げは常に安定化寄与であり、これが磁場による閉じ込めの基本的な剛性である。

駆動される不安定の代表例は、圧力勾配と悪曲率の組み合わせで駆動されるバルーニングモード（β が臨界値を超えると局在的に成長する）と、電流勾配で駆動されるキンクモードである。Zピンチ（軸方向電流のみで磁場を作る最も単純な閉じ込め配置）は理想MHD的に本質的に不安定であり、m = 1 のキンクモードに対する導電壁の安定化効果などが固有値計算で詳しく調べられてきた。トカマクでは、高ベータ・高電流平衡に対するスペクトルコードによる数値解析が、断面形状（円形かD形か）、電流分布の幅、正規化ベータ βp が安定性にどう影響するかを系統的に明らかにしてきた。例えば、プラズマ縁に圧力ゼロ・電流ゼロの層を置くと表面電流勾配に起因する残留キンクが安定化され、最適なβは低いβp（アスペクト比の0.25〜0.4倍程度）で得られ、JET規模の装置で数パーセントのβに達するという評価が古典的に示されている。また、内部輸送障壁を持つ高βプラズマでは、低いトロイダルモード数のモードが障害近傍に局在し、モード間のトロイダル結合や安全係数分布の形状が安定性を左右する。

MHD波動と連続スペクトル

理想MHD流体は三つの基本波を支える：磁場に垂直な圧縮を伴う高速（磁音速）波、磁力線の曲げ復元力によるシア・アルヴェン波（ω = k∥v_A）、そして音波である。トーラスのような不均一系では、アルヴェン波の局所周波数 ω_A(ψ) が半径方向に連続的なスペクトル（連続スペクトル）をなし、共鳴面で特異的な構造を持つ。トロイダル性によりこの連続体にはギャップが開き、その中に離散的な固有モード（アルヴェン固有モード）が現れる。これらは高エネルギー粒子との共鳴を通じてプラズマ加熱や電流駆動の損失を引き起こしうるため、燃焼プラズマ設計上の重要な主題である。

平衡流があると、連続スペクトルの構造はさらに豊かになる。ドップラー項にコリオリ項が加わることで、低周波側にブリュント・ヴァイサラ周波数（回転するトーラスの測地曲率が駆動する、いわゆる測地音響モード（geodesic acoustic mode）の低周波根）が現れ、流れのせん断は連続体のギャップ幅を変化させる。これらの周波数は、回転が駆動する不安定の駆動力と減衰力の両方を理解する鍵となる。

平衡流と理想モデルの限界

現代のトカマクでは中性ビーム入射によって音速に近い（ソニックな）トロイダル回転がしばしば生じる。流れは一般に安定化に働く：抵抗壁モード、バルーニングモード、内部キンク、交換（Mercier）モードなどが、適度な回転や回転せん断によって抑制されることが知られている。回転による遠心力は磁束面上の密度・圧力を一様でなくし、これがブリュント・ヴァイサラ型のジャイロスコープ的安定化の起源である。一方で、流れのせん断は流体力学のケルビン・ヘルムホルツ不安定の磁気版を持ち込み、磁力線曲げによる安定化を弱める。実際、ソニック以上の回転では、せん断最大位置に局在する「KH的」な大域的不安定が解析的にも数値的にも同定されており、その成長率は密度・温度・圧力の勾配分布に敏感である。したがって高性能運転では、中程度の流れによる安定化と、強いせん断による不安定化の間の最適な回転領域を見極めることが課題となる。

理想モデルの限界は、主に三つに整理できる。第一に、抵抗や二流体効果を含まないため、再結合、抵抗性壁モード、テアリング型の挙動は記述できず、これらは非理想MHDやキネティックモデルの領域である。第二に、有理面上の電流特異性に見られるように、三次元平衡の数学的基礎には未解決の点が残る。第三に、高エネルギー粒子や有限軌道効果が支配的な現象では、理想MHDは定性的な枠組みを与えるにすぎない。それでもなお、閉じ込めプラズマの「最低限の安定性基準」が理想MHD安定性として定義されるように、このモデルは磁気核融合の理論的言語の中核であり続けている。