安全係数

トカマク型核融合装置における安全係数(safety factor、しばしば q と表記される)は、磁力線がトーラス(ドーナツ)状の閉じた磁気面を一周するとき、トロイダル(環状)方向に何回回ってからポロイダル(短軸)方向に一周するかを表す無次元量である。プラズマを閉じ込める磁場は強い環状場と、プラズマ電流が作る弱いポロイダル場の合成であり、磁力線はこの二つを重ねた螺旋を描く。安全係数はこの螺旋の「緩さ」を測る量で、ポロイダル回転数に対するトロイダル回転数の比として定義される。q が大きいほど磁力線は環状方向に寝ており、q が小さいほどポロイダル方向に巻きつく。この単純な幾何学的な量が、プラズマの巨視的安定性、輸送、運転シナリオの設計を左右するトカマク研究の中心概念の一つとなっている。

q の定義と物理的意味

磁気面を半径方向に座標 r(または正規化された r/a)で表すと、安全係数は q(r) = r B_t / (R B_p) と書ける。ここで R はトロイダル大半径、B_t と B_p はそれぞれトロイダルおよびポロイダル磁場である。プラズマ電流 I_p が B_p を作るから、q は本質的に「プラズマ電流に対する逆数」の量であり、電流を増やせば q は下がる。プラズマ最外殻での値 q95(境界から少し内側の磁気面での値)は運転領域の指標として広く用いられ、典型的なトカマク放電では 3 前後、高ベータ運転では 2 程度まで下げられる。

q が重要なのは、磁力線に沿った接続長や粒子の軌道が q に直接依存するためである。q が小さいほど磁力線はポロイダル方向に短く閉じ、捕獲粒子のバウンス周波数や軌道幅が変わり、新古典輸送や乱流の線形成長率に影響する。実際、プラズマ電流を増やしてエッジの q を下げると、エッジの E×B 速度の剪断(半径方向電場の井戸)が深くなることが実験的に示されており、これは L モードから H モードへの遷移しきい値や閉じ込めのプラズマ電流依存性の一つの説明となる。つまり q は単なる磁場幾何の記述子ではなく、閉じ込め性能を支配する輸送特性と直結している。

q プロファイルと磁気剪断

安全係数は一つの数値ではなく半径方向のプロファイル q(r) として扱われる。その勾配 dq/dr は磁気剪断(magnetic shear)と呼ばれ、隣り合う磁気面の間で磁力線のピッチがどれだけずれるかを表す。標準的なオーム加熱放電では中心で q が最小(しばしば 1 近傍)、外縁に向かって単調に増えるプロファイルをとる。

図は三つの模擬ケースについて安全係数の半径方向プロファイルを比較したもので、中心で 1 近傍から外縁の q95 = 1.8、3.7、5.5 まで単調に増加する曲線が q = 1 の破線とともに描かれている。このように q95 の値そのもの、およびプロファイルの形が、後述する MHD 安定性や輸送障壁の形成を決める。

磁気剪断が物理的に効く主な経路は二つある。第一に、剪断は乱流渦を磁気面上でずらして破壊する働きがあり、剪断が強いほど乱流輸送が抑えられやすい。第二に、剪断は MHD 不安定性の駆動条件を変える。中心部に剪断の小さい平坦な領域を持つプロファイルは、外側に強い剪断を持つ領域と組み合わさると n = 1 内部モードに対して一般に不利であり、剪断が全柱でなだらかに変化するプロファイルの方が安定性に優れることが理想 MHD 解析で示されている。プラズマ形状の効果も剪断と絡む:楕円度は不安定化、三角形度は安定化に働くが、三角形度の利点が楕円度の不利を上回るには q = 1 面内側の剪断が十分小さいことが必要とされる。

有理面と MHD 安定性、鋸歯振動

q が有理数 m/n(m、n は整数)に等しい磁気面を有理面と呼ぶ。そこでは磁力線が n 回のトロイダル周回の後ちょうど元の位置に近づき、摂動が周回ごとに同位相で加算されるため、m/n の螺旋構造を持つ磁気島や MHD モードが最も育ちやすい。トカマクの安定性解析は、この意味で q プロファイルの「どこにどの有理面があるか」の問題に帰着する。

最も重要なのが q = 1 面である。中心の q が 1 を下回ると m/n = 1/1 の内部キンクモードが不安定化し、非線形に発達して鋸歯振動(sawtooth)と呼ばれる周期的なクラッシュを起こす。クラッシュのたびに中心の温度と電流プロファイルが平坦化され、小振幅の鋸歯は不純物蓄積を防ぐ利点がある一方、大振幅のクラッシュは閉じ込めを劣化させ、隣の有理面上の新古典ティアリングモードを誘発してディスラプションにつながりうる。そのため鋸歯の制御は主要な研究課題であり、電子サイクロトロン加熱や中性粒子入射で電流プロファイル、ひいては q = 1 面の位置と不安定化しきい値を操作する手法が広く使われている。なお鋸歯の発生条件はポルチェリ(Porcelli)の理論に代表される 1/1 モードのしきい値論でよく記述されるが、中心部で磁気剪断が逆転した非単調 q プロファイルでは 2/2 や 3/3 など高次モードが 1/1 モードより先に不安定化し、複数のフラックスチューブが観測されるなど、従来モデルの枠を超える現象が知られている。

図は非単調 q プロファイルの下で磁力線のポアンカレ描像を三つの時刻で示したもので、時間とともに中心の磁気面が壊れ、磁気島とストカスティック領域が広がっていく過程が見て取れる。このように q プロファイルの形は、どのモードがクラッシュの引き金を引くかを直接決める。

有理面の概念はエッジの現象にも及ぶ。エッジ局在化モード(ELM)を緩和するための共鳴磁気摂動(RMP)コイルでは、プラズマ応答の振幅や X 点近傍の変位がエッジ安全係数に強く依存し、最適なコイル位相が q95 にほぼ線形に従って変わることがトロイダル計算で示されている。また q が有理面を横切る際の磁気島幅は、島を横切る粒子軌道の幅に換算されるとき q と軌道ピッチを介して評価される。ディスラプションとの関係も重要で、垂直変位イベント(VDE)に至る過程でのエッジ q の挙動、低 q 放電での誤差場応答の増大など、ディスラプション回避の観点からエッジ安全係数が精密に研究されている。

先進シナリオ:逆剪断と内部輸送障壁

標準プロファイルでは中心の q が最小だが、電流を中心から外側に駆動することで q が半径とともに減少する、すなわち中心で剪断が負になる「逆剪断(reversed shear)」プロファイルを作れる。これは先進トカマク運転の中核的な考え方である。負の剪断領域では乱流渦が効率的に壊され、内部輸送障壁(ITB)が形成されて中心の温度と圧力が急峻に立ち上がる。さらに q プロファイルが平坦ないし反転した領域では強い電子加熱下で閉じ込めが向上するレジームが報告されており、剪断と E×B 剪断流の相乗効果が障壁形成に寄与する。非誘導電流割合の高い放電では、電流をどこにどう駆動するかで q プロファイルを最適化することが運転性能を直接左右する。

一方、逆剪断プロファイルは MHD 的に新しい問題をもたらす。中心に q が 1 をまたいで反転する領域があると、前述のように高次の m/n モードが不安定化しやすく、また q の極小値近傍の有理面上ではアルフヴェン固有モード(TAE など)が高速イオンと共鳴する。TAE の減衰率は軸上の q 値やトロイダル回転の剪断に依存することが実験的に調べられており、高速イオンの輸送が q プロファイルを変えてさらに安定性を変えるというフィードバックも、初期上昇段階の放電で観測されている。先進シナリオの設計とは、輸送障壁による高性能化と、これら MHD 安定性の制約との間の最適点を探す作業である。

q の計測・再構成と実時間制御

q プロファイルは直接測れる量ではなく、平衡再構成から求める。標準的な手法は、外部磁気プローブやフラックスループの測定値にグラード–シャフラノフ(Grad–Shafranov)平衡方程式をフィットさせるものであるが、外部測定だけでは q プロファイルの中心部の形、特に q が 1 を下回るかどうかを決定できないことが多い。そこで運動量スタルク効果(MSE)診断による内部ポロイダル磁場ピッチ角の測定を制約に加えると再構成精度が劇的に向上する。実際、同じ放電を外部磁気のみで再構成した場合と MSE 制約を加えた場合とで、中心の q が 1 を下回るか上回るかという定性的に異なる結論になり、内部キンクモードの安定性解析や実験で観測される長寿命モードとの整合が変わってしまう。この感度の高さこそ、q 再構成の精度が MHD 物理解析の信頼性を直接左右することを示している。

MSE 診断は特定の中性ビーム運転に依存するため、使えない放電や時間帯が多いという運用上の制約がある。このため、干渉計・偏光計(ファラデー回転)の測定からポロイダル磁場を反転して q を求める手法、ペレットアブレーション光跡の三次元再構成から q を推定する手法、プラズマ複屈折を補正した偏光計測など、内部診断への依存を減らしつつ精度を保つ多様な計測・解析法が開発されてきた。JET では外部磁気測定と偏光計のみを用い、平衡方程式を解かずに磁気面の位相幾何を決めて q プロファイルを推定する実時間アルゴリズムが実装され、単調剪断と逆剪断の両方を精度よく識別できることが確認されている。

閉じ込め性能を維持するには q プロファイルを放電中に制御する必要があり、これは本質的に分布系のフィードバック制御問題である。DIII-D では電流立ち上がり期に電子加熱で電流プロファイルの緩和速度を変え、軸上または最小の q を目標値に追従させるフィードバック制御が実証された。アクチュエータとしては偏軸電子サイクロトロン加熱や中性粒子入射が用いられ、q は MSE を含む平衡再構成から実時間で計算される。制御理論的には、q プロファイルと蓄積エネルギーの力学に対する物理に基づく制御向けモデルとロバスト制御、時間変化する制約の下でのモデル予測制御、さらには JT-60SA を対象に q プロファイルと正規化ベータを同時に制御する強化学習まで、手法の幅が広がっている。近年は深層学習を用いて、MSE なしの実時間平衡再構成と磁気摂動信号などの診断値から、MSE 制約付き再構成に匹敵する q プロファイルをミリ秒以下で推定する手法も示されており、実時間制御系とディスラプション予測への組み込みが進んでいる。q の計測・再構成・制御は、トカマクを定常的に運転するための基盤技術として、今後の炉級装置で一層の重要性を増すと考えられる。