理想MHD

理想MHD（ideal magnetohydrodynamics、理想磁気流体力学）とは、プラズマを電気伝導性が無限大の流体とみなし、電気抵抗・有限ラーモア半径・2流体効果などを一切無視して記述する、最も単純で最も広く使われる磁気流体モデルである。この単純化によって、平衡の形、安定・不安定の判定、そして圧力や電流の上限値を、比較的少ない方程式から系統的に導くことができる。核融合研究において理想MHDは、トカマクやヘリアカル系がどれだけの圧力に耐えられるかという運転限界の理論的骨格を与えており、図に示すような三次元平衡の計算はその基本的な道具となっている。

図は、軸対称平衡に外れる変位が飽和した三次元理想MHD平衡の例で、(a) は磁束面の形状、(b) は二次元平衡からの圧力ずれ δp であり、摂動がプラズマ縁で最も強く磁気軸に向かって消えていく様子が見て取れる。

理想MHDモデルと平衡

理想MHDの基礎方程式は、質量保存、運動量保存の式 ρ dv/dt = j × B − ∇p、エネルギー方程式（断熱圧縮を仮定することが多い）、そして誘導方程式 ∂B/∂t = ∇ × (v × B) である。誘導方程式が本質的である。電気抵抗がゼロということは、磁力線が流体に「凍りつき」(frozen-in)、流体要素とともに動くことを意味する。その結果、磁気面に囲まれた各領域のトロイダルおよびポロイダル磁束は保存され、磁力線のトポロジーは変えられない。この凍りつきの制約が、理想MHDの安定性解析の特徴の多く――エネルギー原理の厳密さ、また一方で磁気島や再結合が扱えないこと――を生む。

平衡状態では流れがなく力が釣り合い、j × B = ∇p が成り立つ。つまり圧力勾配は磁場によるローレンツ力とつり合い、圧力は磁気面上で一定となる。軸対称系ではこの釣り合いはグラード–シャフラノフ方程式に帰着し、ポロイダル磁束関数 ψ と F = RB_φ の二つの断面関数を与えれば平衡が一意に定まる。この方程式は実験解析でも設計でも日常的に解かれており、平衡コードが実験計測から圧力・安全係数・密度プロファイルを再構成するのが標準的な出発点である。プラズマに流れがある場合には遠心力のために圧力面が磁気面からずれ、方程式系はグラード–シャフラノフ–ベルヌーイ系へと拡張され、与えるべき断面関数が二つから五つに増える。流れは平衡の安定性にも影響しうるため、中性ビーム加熱などで回転が顕著な実験ではこの拡張が重要になる。

エネルギー原理と安定性解析

理想MHDの安定性は、ほとんどの場合エネルギー原理によって判定される。平衡からの微小変位 ξ に対して系のポテンシャルエネルギーの二次変分 δW を計算し、任意の ξ に対して δW > 0 なら安定、負にできる ξ があれば不安定である。δW は磁場の曲げと圧縮（安定化項）、圧力勾配と磁気曲率の結合（駆動項）、電流勾配による駆動など、物理的に解釈可能な項の和に分解できる。この枠組みの強力な点は、変位がエルミート作用素の固有値問題に帰着することであり、負の固有値が不安定モードに対応する。この原理は三次元トロイダル系にも拡張されており、多領域緩和MHDのエネルギー汎関数のヘッシアンを評価して線形安定性を予測する手法など、磁気島を許す緩和モデルとの比較研究も行われている。

数値的には、この固有値問題を解く安定性コード群（軸対称トロイダル系の MISHKA や CAS3D など）が整備され、実験的に再構成された平衡に対して成長率とモード構造が計算される。解析的な側面では、軸対称トロイダルプラズマに対するニューコムの直接判定法のように、各磁気面ごとに微分方程式を積分して特異点を横切る際の符号から安定性を決める方法もある。また、非線形位相については、飽和した変位は時間に依存しない三次元平衡としても捉えられる。実際、非線形に飽和したキンクモードの変位振幅を自由境界平衡コードで計算し、初期値コードや大アスペクト比展開による解析モデルと比較するアプローチが確立されている。

図はその一例で、(a) は外部キンクモードの線形成長率がエッジ安全係数に対してある値で極大を持つこと、(b)(c) は線形の変位関数と非線形に飽和した変位関数を複数のポロイダルモード数について示したもので、モードがプラズマ縁に局在する構造が読み取れる。

不安定性の分類：キンク、バルーニング、ピーリング–バルーニング

理想MHD不安定モードは駆動源によって分類される。電流駆動のキンクモードは、電流勾配が大きい場所、特にプラズマ縁近くで不安定化しやすい。プラズマ内部で閉じた磁気面内に収まる内部キンクと、プラズマ表面を変形して外へ膨らむ外部キンクに分けられる。外部キンクは運転限界を直接定める最重要モードであり、線形に成長した後も非線形に飽和するが、飽和振幅が大きすぎて真空容器やプラズマ対向壁に接触すればディスラプションに至る。安全係数の最小値が1をわずかに超えるハイブリッド運転では、m = n = 1 の大域的キンクが臨界状態に近づき、数cm規模のらせん状のコア変位が形成されて回転や温度、不純物密度に影響を及ぼすことが実験で示されている。

圧力駆動のバルーニングモードは、磁場の曲率が悪い（曲率ベクトルが圧力勾配と逆向きに働く）外側の弱磁場側で局在し、圧力勾配が臨界値を超えると局所的に交換的に成長する。ピーリングモードは縁のブートストラップ電流勾配が駆動するキンク型のモードであり、高閉じ込めモード（Hモード）の縁ではこの二つが結合したピーリング–バルーニングモードがエッジローカライズドモード（ELM）の起源であるとされる。縁の急峻な圧力勾配が大きなブートストラップ電流を生み、圧力勾配と電流勾配が協同してモードを駆動し、周期的な粒子・エネルギーの放出がペデスタルの成長を制限する。この理想ピーリング–バルーニングモデルは標準アスペクト比のトカマクのペデスタル限界予測に成功してきた。

ベータ限界と壁安定化

プラズマの正規化圧力 β（圧力と磁圧の比）には、理想MHDが課す上限がある。圧力勾配駆動のモードや電流駆動の外部キンクが成長し始めるβが、装置の性能限界を事実上決めるからである。限界には二段階ある。導電性の壁がなくても安定な「ノーウォール限界」と、理想導電壁がプラズマのすぐ外側にあるものとして得られる「イデアルウォール限界」であり、実際の壁は有限の電気伝導度と有限の距離にあるため、実現できるβはこの間に位置する。ノーウォール限界に近づくと、外部から印加された三次元磁場の増幅率が急増する。これは臨界状態のキンク応答が大域的であるためで、実験ではこの応答を電子サイクロトロン放射などの計測で測定し、線形MHD計算と比較することで、プラズマが限界のどこに位置するかを診断できる。応答として生じたらせん状のコア歪みは回転制動や不純物輸送を通じて性能に影響し、またMHDモードによる異常な電流再分配（磁束ポンピング）が広い電流プロファイルを維持して全非誘導運転を可能にする側面もある。

導電性壁は、モードの変位に伴う渦電流が反発力として働くことで外部キンクを遅らせる。理想導電壁なら完全に安定化するが、実際の壁は抵抗を持つためモードは「抵抗性壁モード」としてゆっくり成長し、これを抑えるにはフィードバック制御やプラズマ回転が必要になる。低アスペクト比（球状トカマク）では形状効果によってノーウォール限界自体が高くなる傾向があり、球状トカマクの発電プラントや部材試験装置の設計でも理想MHD安定性解析が限界評価の基礎となっている。また低磁気シアのプラズマではインファーナルモードと呼ばれる内部モードが不安定化しやすく、プラズマ形状やプロファイルがその安定境界を左右する。

理想MHDを超えて：モデルの限界

理想MHDはあくまで極限モデルであり、その適用限界は物理的にも明確である。第一に、電気抵抗をゼロと仮定するため磁力線の再結合が起きず、抵抗性のティアリングモードや抵抗性ピーリング–バルーニングモードを記述できない。第二に、磁気流体近似はイオンの軌道スケールがモードのスケールより十分小さいことを前提とするが、球状トカマクの縁ではイオンの軌道幅がモード幅に匹敵あるいは上回り、有限ラーモア半径効果や反磁性ドリフトがモード構造を変える。実際、NSTXでは理想ピーリング–バルーニング理論が安定と判定する領域でELMが観測されており、理想MHD計算はELM発生を過小評価する。これに対し、抵抗性や2流体効果（Hall項、電子慣性、ジャイロ粘性）を含む拡張MHD計算は、反磁性安定化や電子慣性による不安定化などを通じて安定境界を実験側へ動かし、観測との一致を改善する。

ペデスタルの実験でも同様のずれが報告されている。JETでは金属壁化後に、理想MHDの安定境界から遠い場所でタイプI ELMが発生する例が見られ、密度プロファイルと温度プロファイルの相対的なずれや分離面密度の増加が理想モデルの予測からのずれと相関する。一方、ASDEX Upgradeではガスパフの効果を密度プロファイルの移動として理想MHDの枠内で説明できる場合もあり、非理想効果の寄与の大きさは装置・運転条件に依存する。さらに、平衡の計算自体にも理想MHDの枠を超えた課題があり、磁気島や確率的磁場領域を許す緩和平衡（多領域緩和MHD）は、理想MHDが扱えない再結合を含む状態をエネルギー原理の枠組みで記述し、理想MHD安定性コードとの系統的な比較を通じて理想モデルの妥当性を検証する手段を提供している。要するに理想MHDは、核融合プラズマの大域的安定性と運転限界の第一近似として確固たる地位を保ちつつ、その予測が実験とずれる場所から、抵抗性・2流体・運動論的物理の役割を読み取るための基準面としても使われているのである。