ラーモア半径

ラーモア半径(回転半径、gyroradius)とは、磁場中の荷電粒子がローレンツ力を受けて描く螺旋運動の、磁場に垂直な面内での半径のことである。質量 $m$、電荷 $q$、磁場に垂直な速度成分 $v_\perp$ の粒子が磁場 $B$ 中で描く円運動の半径は

$$\rho = \frac{m v_\perp}{|q| B}$$

で与えられ、これがラーモア半径である。磁場は粒子の運動方向を曲げるだけで仕事をしないため、粒子は磁力線に沿って等速で進みながら、それに垂直な面内では一定の角周波数(ラーモア周波数 $\Omega = |q|B/m$)で円運動を繰り返す。この円運動の大きさを決めるのがラーモア半径であり、磁場による閉じ込めがどの程度「きつい」かを測る最も基本的な長さの尺度となる。例えば核融合炉の磁場数テスラ中では、熱的な電子のラーモア半径はマイクロメートル程度、水素イオン(陽子)でもサブミリメートルから高々0.1ミリメートル程度にしかならず、炉心プラズマのサイズ(メートル級)に比べて圧倒的に小さい。この「小ささ」こそが、磁場閉じ込めが成立する物理的な根拠である。

定義と基礎物理

ラーモア半径のスケールを理解する鍵は、温度と質量への依存性である。熱平衡にあるプラズマでは $v_\perp$ は熱速度に置き換えられ、$\rho_s = \sqrt{T}/(qB)$ の形に書ける。温度が高いほど粒子は速く動くので半径は大きくなり、磁場が強いほど強く曲げられるので半径は小さくなる。また質量の平方根に比例するため、同じ温度でもイオンのラーモア半径は電子より数十倍大きい。この電子とイオンのスケールの差が、後述するように乱流輸送や波動伝播において重要な役割を果たす。

ラーモア運動のもう一つの重要な帰質は、円運動の中心(案定中心、guiding center)が磁場と垂直な方向にドリフトすることである。密度や温度の勾配があると、ラーモア軌道の片側と反対側で粒子が異なる速度分布の粒子と出会うため、直径程度のずれに応じた正味のドリフト(反磁性ドリフト)が生じる。このドリフト速度はラーモア半径と勾配スケールの積に比例し、プラズマ中の電流や圧力平衡の基礎となる。つまりラーモア半径は単に軌道の大きさを表すだけでなく、「粒子は磁力線からどれだけずれて応答できるか」という有限の記憶の大きさを表しており、プラズマのあらゆる流体模型的・運動論模型的性質にこの尺度が顔を出す。

案定中心表示と高次のラーモア半径補正

ラーモア半径が系の特性長さより十分小さいとき、粒子の速い円運動を平均して消し去り、案定中心の運動だけを追う「案定中心表示」が有効である。これは摂動論としてラーモア半径のべき級数で展開され、通常のシミュレーションコードでは最低次(ラーモア半径の1次まで)の式が用いられてきた。しかし高速イオンのようにラーモア半径が系のスケールに対して無視できない粒子を扱う場合、高次の補正が定量的に重要になる。

高次展開の研究から明らかになった重要な点の一つは、案定中心表示の式が「ジャイロゲージ」と呼ばれる回転角の取り方に依存しない形で構成できることである。円運動の位相角をどの基準で測るかは人為的な選択であり、物理量はこの選択に依存してはならない。この要請を満たすように座標系を構成すると、展開は原理的に任意の次数まで行え、各次の項が行列の逆算という共通の手続きで帰納的に決まることが示されている。これは案定中心表示を単なる近似式の集まりではなく、幾何学的に厳密な力学系の縮約として理解する道を開いた。

もう一つの重要な補正は、案定中心の平行速度の定義に現れるいわゆるバニョス(Baños)ドリフト項である。通常の1次の案定中心方程式では、粒子の速度と案定中心の速度の間の対応(位相空間での写像)が厳密には保たれず、分布関数を粒子表現と案定中心表現の間で変換する際に、磁化項と呼ばれる異方的なずれが生じる。この高次補正を正しく取り入れると、例えば中性ビーム入射による高速イオン駆動電流の評価が従来計算より有意に変わること、共鳴磁場摂動による高速イオン損失の評価でより良い閉じ込めが確認されることが示されている。一方、リップル場中のアルファ粒子のように効果が僅かな場合もあり、補正の重要性は粒子のラーモア半径と系のスケールの比で決まる。

波動・高周波加熱における有限ラーモア半径効果

電磁波の波長がラーモア半径より十分長ければ、粒子は波の一周期の間にほぼ同じ位相領域にとどまり、波は粒子をあたかも点電荷のように感じる。しかし波長がラーモア半径に近づくと、一つのラーモア軌道の中で波の位相が変化するため、粒子が感じる場は軌道に沿った平均値となり、誘電率にラーモア半径のべきで書かれる補正(有限ラーモア半径効果、FLR効果)が現れる。この補正はベッセル関数 $\exp(-k_\perp^2 \rho^2/2)$ 型の因子として現れ、垂直波数 $k_\perp$ とラーモア半径の積が1を超えると応答が急激に変わる。

トカマクのイオンサイクロトロン周波数帯の加熱では、外部アンテナから入射する高速波の波長は熱イオンのラーモア半径よりはるかに長いため、通常は有限ラーモア半径展開で十分である。しかし高ベータプラズマ(球形トカマクなど)での加熱の解析、イオンサイクロトロン高調波での吸収、イオン・イオン共鳴面でのモード変換によって励起されるイオンベルンシュタイン波の減衰評価、そして減速過程にある熱核アルファ粒子が高周波波の伝播と吸収に及ぼす影響の調査などでは、ラーモア半径の全次数を取り込んだ「大ラーモア半径」扱いが必要になる。実際、イオンサイクロトロン高調波付近では有限ラーモア半径効果が共鳴吸収の構造そのものを変えるため、全波動コードでは展開の打ち切り次数が計算の信頼性を直接左右する。なお、高次のイオンベルンシュタイン波は垂直波長が短すぎて数値的に解くこともできず、しかも励起効率は通常パーセント程度以下であるため、これを展開から落としても実用上の影響は小さい。

乱流・輸送における有限ラーモア半径効果

磁場閉じ込めプラズマの輸送は、ドリフト波乱流などの微視的乱流によって支配されている。ここでラーモア半径は二重の役割を果たす。第一に、乱流渦の典型的な大きさ(渦の半径方向スケール)とイオンのラーモア半径の比が、粒子がどれだけ乱流に「引っ張られる」かを決める。受動的な荷電粒子の輸送を調べると、ラーモア半径が渦の大きさより小さい間は、ラーモア半径が大きくなるほど粒子は渦の速度の空間平均を感じるため輸送は減少する。しかしラーモア半径が渦の典型的な半径を超えると、輸送率はほぼ一定に飽和する。これは、あまりに大きな軌道の粒子はもはや個々の渦に捕らわれず、むしろ大規模な帯状流(ゾーナルフロー)に乗って動くためである。帯状流が自発的に生成される系では輸送の統計がガウス型から外れ、帯状流を横切る半径方向輸送はサブ拡散的(時間とともに遅くなる)に、帯状流に沿う方向の輸送は超拡散的(加速的に)になるという、方向によって質的に異なる振る舞いが現れる。

第二に、ラーモア半径スケールは乱流が自発的に作る静電ポテンシャルの構造そのものを決める。トカマクで帯状流の残存ポテンシャルを調べる標準的な数値実験(ローゼンブルス=ヒントンテスト)では、摂動の半径方向波数をイオンのラーモア半径スケールから電子のラーモア半径スケールまで変化させたとき、残存レベルの波数依存性がイオン側から近づく場合と電子側から近づく場合とで同じにならない、という非可換的な性質が明らかになっている。これは、帯状流の残存レベルが「どの種を運動論的に扱い、どの種を断熱応答とみなすか」という取り扱いに依存することを示しており、イオンと電子のラーモア半径の中間スケールでは残存レベルを一意に定めることが難しい。この事実は、乱流輸送を抑制する帯状流の効能を評価する際、ラーモア半径スケールの分解が不可欠であることを意味する。

さらに、ラーモア半径効果は乱流の自己維持にも関与する。有限ラーモア半径効果は反磁性的な応答を通じて乱流構造と帯状流の相互作用を変化させ、磁気乱流の自己持続や、遠心力的な交換不安定によって生じるプラズマ塊(ブロブ)の運動にも影響を与える。また速度剪断流による交換不安定の安定化が有限ラーモア半径効果によって助けられるなど、閉じ込め改善の機構の理解にもこの尺度が本質的である。要するに、ラーモア半径は単なる軌道パラメータではなく、磁化プラズマの乱流がどの空間スケールで、どの種(イオンか電子か)の運動に支配されるかを画定する、閉じ込め物理の基本的な物差しである。