量子プラズマ

プラズマは通常、古典的な粒子集合として扱われるが、粒子間距離がド・ブロイ波長程度まで小さくなると、電子の波動性とフェルミ統計が集団運動に直接現れる。このような状態にあるプラズマを量子プラズマと呼ぶ。身近な例では金属や半導体中の伝導電子、コンパクト星(白色矮星や中性子星)の内部、高密度レーザー固体圧縮実験の初期段階などがこれに当たり、量子プラズマ物理はプラズマ物理と凝縮物質物理・天体物理の境界領域として発展してきた。

量子プラズマとは何か

量子効果が顕在化するかどうかは、主に二つの無次元パラメータで決まる。第一は縮退パラメータで、電子の熱エネルギーに対するフェルミエネルギーの比である。これが1を超えると電子はパウリの排他原理に従い、絶対零度でも有限の運動量を持つ「縮退した」フェルミ気体として振る舞う。第二は電子の熱ド・ブロイ波長と粒子間距離の比で、これが1に近づくと波動関数の重なりによる交換・相関効果が効いてくる。典型的な金属では電子密度が10^22〜10^23 cm^-3 程度であり、フェルミエネルギーは数eVに達して室温をはるかに超えるため、伝導電子は常に強く縮退した量子プラズマとみなせる。一方、イオンは質量が大きいためド・ブロイ波長が短く、多くの状況で古典粒子として扱える。この電子とイオンの非対称性が量子プラズマ物理の基本的な構図である。

縮退した電子の圧力(フェルミ圧力)は密度の5/3乗に比例して増えるため、コンパクト星が自重崩壊に抵抗する力の本体となる。また、量子プラズマ中の静電遮蔽は古典デバイ遮蔽と異なり、密度が高くなるほど遮蔽長が短くなるのではなく、密度によらないトーマス・フェルミ長というスケールで遮蔽が起こる。これは縮退電子のフェルミエネルギーと密度勾配圧力(後述のボーム項)が釣り合うことに由来し、高密度になるほど遮蔽が弱まるという古典直感に反する振る舞いをする。この量子遮蔽は、高密度プラズマ中の原子の光イオン化や陽電子散乱、さらには核融合反応のガモフ透過係数に至るまで、微視的な原子過程の修正として幅広く研究されている。

量子流体モデルと運動論的モデル

量子プラズマを記述する最も広く使われる枠組みは量子流体モデル(量子ハイドロダイナミクス)である。これは古典の流体方程式に二つの量子項を加えたものである。一つはボームポテンシャルと呼ばれる項で、密度勾配の二階微分に比例し、波動関数の量子圧力に相当する。もう一つはフェルミ縮退圧力で、縮退した電子気体の状態方程式として圧力を密度の関数で与える。ボーム項は波長の2乗に反比例して効くため、短波長の波の分散を根本的に変え、古典プラズマでは現れない新しい集団モードを生む。このモデルは非線形シュレディンガー方程式とポアソン方程式の連立系として書ける場合が多く、数値シミュレーションとの親和性も高い。

より基礎的な記述は運動論的モデルである。量子プラズマでは分布関数としてヴィグナー関数を用い、その時間発展はヴィグナー方程式(あるいは量子キネティック方程式)に従う。ヴィグナー関数は古典の分布関数と似た性質を持つが、コーシー問題の初期条件や衝突項の定式化に量子論特有の制約が伴う。流体モデルと運動論モデルの関係は重要な検証対象であり、例えば完全縮退電子気体中のイオン音波については、交換・相関ポテンシャルを含む量子キネティック方程式から速度モーメントを取って導いた流体方程式が、長波長極限で流体モデルの結果と一致することが示されている。この一致は、流体モデルの各項(縮退圧力、ボーム項、交換・相関項)が運動論から正当に導かれることの確認であり、同時に流体モデルの適用限界(波長がフェルミ波長に近づく領域)を示す目安にもなる。

集団モードと波の分散

量子効果は波の分散関係を大きく変える。最も基本的な例は電子プラズマ波(ラングミュア波)で、古典では位相速度が分散なしに振動数だけ決まるのに対し、量子プラズマではボーム項と縮退圧力による波長依存の分散が加わり、短波長側で位相速度が上がる。さらに、縮退電子気体の圧力がイオンの圧力よりはるかに大きいことを利用して、イオンの慣性と電子の縮退圧力・ボーム圧力で支えられる「量子イオン音波」が定義される。これは古典イオン音波と似ているが、音速が電子温度ではなくフェルミエネルギーで決まり、ボーム項による短波長側の強い分散を持つ点が異なる。同様に、磁化した量子プラズマではや電子音波にも量子修正が入り、電子の相対論的縮退を考慮するとアルフヴェンの性質が非相対論の場合から変化することが知られている。