トロイダル流

トロイダル流（toroidal flow）とは、トカマクやヘリカル装置などの環状磁場閉じ込めプラズマにおいて、磁気面に沿ってトロイダル（周方向）に流れるプラズマの回転のことである。中性粒子ビーム入射やプラズマの自己組織化によって生じ、その速度はイオン音速程度に達することもある。回転そのものより重要なのは回転の空間的勾配、すなわち流れのシアーであり、これは磁気流体力学（MHD）平衡の変形、大域的安定性、乱流輸送の制御に影響を及ぼす。トロイダル流の研究は、回転が「与えられた平衡の一部」ではなく、閉じ込め性能そのものを左右する独立の物理量であるという認識のもとで発展してきた。

図は、二重ティアリングモードの研究で用いられる典型的なトロイダル回転の平衡プロファイルを示すもので、縦軸は無次元化された角速度、横軸は正規化された小半径である。中心部で一定の角速度がプラズマ縁に向かって急峻なシアー層を経てほぼ零に落ちる様子、および外側の共鳴面上の局所的な値が読み取れる。このように中心部が剛体的に回転し、縁近くで急減するプロファイルは、ビーム加熱されたトカマクでしばしば観測される形である。

定義と物理的設定

環状プラズマでは磁力線はトロイダル方向とポロイダル方向の両成分をもち、磁気面上を閉じた螺旋を描く。プラズマは磁気面に沿っては自由に動けるため、観測される流れは一般にトロイダル成分とポロイダル成分をもつが、ポロイダル方向の流れは磁場のポロイダル成分が弱いため強く制約され、定常的には小さくなる。したがって環状プラズマの回転は事実上トロイダル流として扱われ、その大きさは角速度あるいはマッハ数（イオン音速との比）で表される。中性ビーム入射による加熱では回転は音速のオーダー、すなわちソニック回転に達することがあり、この場合遠心力はプラズマ圧力と同程度の動圧として平衡に寄与する。

トロイダル流が特別な意味をもつ理由は、回転が磁気面の形そのものと、摂動の伝搬の仕方の両方を変えるからである。回転はプラズマを平衡方程式の中で動的な存在にし、また不安定モードに対してドップラー周波数のシフトを与える。さらに流れのシアーは、渦を引き伸ばして崩壊させることで乱流構造を直接変形する。これら三つの効果——平衡への寄与、モード安定性への寄与、乱流への寄与——が、トロイダル流研究の三本柱である。

トロイダル回転の駆動と減衰

トカマクにおける最も強力な駆動源は中性粒子ビーム入射であり、ビームがもつ角運動量がプラズマに直接注入される。この外部的な運動量入力の他に、プラズマが自発的に回転を生む経路がある。一つは非対称な放射損失や、境界近くの電極バイアスのような運動量源であり、もう一つはより基本的な、径方向電場とイオン温度勾配による自発的駆動である。径方向電場はプラズマに E×B ドリフトとして回転を与え、イオン温度勾配はバナール（ダイヤモンド）型の非対称性を通じて環方向の運動量を生む。これらの自発的駆動は、外部駆動がないヘリカル装置で特に重要である。

磁気再結合もトロイダル流の生成源となる。スファロマク同士を衝突合体させてフラックスループを形成する際、再結合層に強いトロイダル速度のシアーが生じ、それが形成後のプラズマの低モード数不安定性の安定性を左右する。このようにトロイダル流は「与えるもの」と「生まれるもの」の両方であり、再結合で生じた流れシアーがその後のMHD安定性を決めるという因果関係は、コンパクトトーラス系で顕著に現れる。

図は、スファロマク合体によるトロイダルプラズマの形成過程を三次元磁力線とトロイダル磁場のカラーマップで示したもので、(a) 形成、(b) 再結合初期、(c) 再結合、(d) 単一フラックスループ形成の各段階に対応し、各段階の傾いた電流層におけるトロイダル速度の半径方向プロファイルが併せて描かれている。再結合の進行とともに速度プロファイルが符号を含めて変化し、形成されたプラズマが自発的なトロイダル回転とそのシアーをもつことが分かる。

減衰については、粘性やイオンの軌道幅に起因する減速、磁気島や確率的磁場領域との結合による急激な減速が知られる。後述するように、磁気面が壊れると回転は急速に失われる。

流れとMHD平衡

ソニック回転に達すると、遠心力とコリオリ力が平衡方程式に現れ、磁気面は静的なグラード・シャフラノフ平衡からずれる。軸対称回転を含む一般化されたMHD平衡方程式では、流れ関数のプロファイルが磁気面の形を決める入力の一つとなり、強いシアーをもつ回転は断面の楕円率や磁軸のシフトを変化させる。変分法に基づく数値計算により、流れ関数プロファイルと磁気面形状の関係が系統的に調べられ、特定の極限では楕円率と磁軸シフトの解析表式も得られている。さらに精密な取り扱いでは、高速イオンの軌道幅、圧力の異方性、回転を同時に含む平衡が求められ、これらはいずれも「静的な平衡」という描像からのずれを表す項である。平衡ソルバーの側面でも、流れを含む固定境界平衡をフラックス座標系で解く計算手法が整備されており、回転平衡の計算は現在では標準的な解析手段となっている。

流れシアーと安定性：ティアリングモード、キンク、乱流

流れが安定性に及ぼす影響は二面的である。安定化の側では、回転は外部キンクモードの限界を引き上げ、ティアリングモードに対してはモードの周波数をトロイダル回転に比例してドップラーシフトさせる。電極バイアスでトロイダル流を制御する実験では、2/1ティアリングモードの周波数が回転に比例して変化することが確認され、飽和島幅は流れシアーよりも回転の大きさそのものに強く相関する。これは、島幅を決めるのは勾配よりも流れの絶対量であることを示唆し、回転の大きさを変えることがティアリングモード制御の手段になりうることを意味する。同様に、回転はスワイブレイクアウトの安定化にも寄与する。磁気島同士の結合によって回転プロファイルが平坦化され、シアーが反転する現象も観測されており、島と流れの相互作用は双方向的である。逆に、不安定なティアリングモードが有限のトロイダル流を自発的に生成することもあり、流れとモードの関係は一方向的ではない。反転磁気シアー配置で問題となる二重ティアリングモードに対しては、シアー流は二つのモードの位相差を変化させて相互駆動を弱めることで抑制に使えるが、シアーが大きすぎると今度はケルビン・ヘルムホルツ型不安定性を招くというトレードオフがある。

不安定化の側の代表例が、強い回転シアーが駆動する大域的なケルビン・ヘルムホルツ型不安定性である。回転周波数が閾値を超えると、シアーが最大の位置に固有モードが集中する大域的モードが成長し、その駆動機構は流れの動圧の低下と、遠心力に起因する磁力線に沿った密度変化にある。この不安定性の成長率はプラズマベータや安全因子の詳細にはあまり依存せず、回転周波数そのものに支配される。つまり、回転による安定化には上限があり、その上限はシアー駆動の大域モードによって定まる。

乱流に対しては、トロイダル流のシアーは上下対称な平衡が課していた対称性を破る。イオンスケール乱流の測定とジャイロキネティック・シミュレーションの比較から、シアーによる渦の「引き伸ばし」は空間相関関数の傾きとして、またシアーされた準臨界乱流における長寿命の密度構造の出現はゆがんだ密度分布の歪度として統計的に現れることが示されている。これらの効果は非線形安定性しきい値からの距離に依存し、しきい値から離れれば対称性は実効的に回復する。流れシアーによる乱流抑制は輸送バリヤー形成の機構とも結びついており、シアーしたトロイダル流が輸送の分岐を引き起こすことが理論的に示されている。

ヘリカル装置における自発的流れ

トカマクと異なり、ヘリカル装置ではトロイダル方向の対称性が本質的に破れているため、自発的トロイダル流の理解が特に重要である。大型ヘリカル装置（LHD）では、径方向電場が正の領域ではプラズマ縁で逆方向、磁軸近くで順方向に自発的な流れが生じることが観測された。この方向の違いは、ヘリカルリップルとトロイダルリップルの比が中心部と縁で異なることに帰着される。リップルトラップされた粒子の運動量輸送が場所によって異なる符号の流れを駆動するためである。さらに、イオン温度勾配が自発的トロイダル流を駆動することが明確に観測され、高温イオン放電におけるトロイダル流の主要な構成要素の一つと考えられている。電子サイクロトロン加熱がトロイダル流を変化させることも観測されており、加熱方式と流れプロファイルの関係はヘリカル装置の運転上の重要な要素である。

ヘリカル装置特有の現象として、流れと磁場構造の遷移の結合がある。LHDでは、磁気シアーが特定の値近くまで下がると磁気面が確率的化し、それに伴ってトロイダル流が急激に減衰することが観測された。逆に磁気シアーが回復すると、確率的磁場が再び入れ子状の磁気面に「治癒」し、流れも回復する。これは、流れが磁場構造の受動的な指標であるだけでなく、確率的領域での平行伝導損失が回転を急速に落とすことを示しており、閉じ込め改善と回転維持が同じ磁場トポロジーに縛られていることを意味する。トロイダル流は、環状プラズマの平衡・安定性・輸送・磁場トポロジーを横断する物理量として、現代の閉じ込め研究の中心的な観測対象の一つとなっている。