プラズマ平衡

プラズマ平衡とは、磁場で閉じ込められたプラズマが、圧力勾配による外向きの力と電流が受けるローレンツ力（磁気圧縮力・テンション力）が釣り合い、時間スケールがアルフベン時間より十分長い準静的状態に保たれている様子を指す。核融合研究では、この平衡状態を正確に求めることがプラズマの閉じ込め性能評価、安定性解析、そして運転中の形状制御のすべての出発点となる。平衡はプラズマ内部の圧力分布と電流分布が決定する磁面の幾何として表され、トカマクのような軸対称系ではグレード・シャフラノフ方程式として定式化され、ヘリカル系では三次元の力平衡問題として扱われる。近年は、測定データから平衡を統計的に推定する手法や、放電中にリアルタイムで平衡を再構成してプラズマ形状を制御する技術が実用段階に達している。

図は軸対称トカマクのプラズマ平衡の具体例で、ポロイダル断面に描かれた磁束面の入れ子構造、プラズマ境界、X点を通る分離線、そしてそれらを制御するための磁気形状制御変数の位置が示されている。このように平衡とは単なる計算結果ではなく、コイル電流とプラズマ電流が作る磁場の実在する構造であり、運転者が直接制御しようとする対象でもある。

平衡とは何か

磁場閉じ込めプラズマは、導電性の流体であり、内部に電流を流すと同時に外部コイルの作る磁場中に置かれている。圧力が高い領域から低い領域へ向かう圧力勾配はプラズマを外へ押し広げる力として働くが、電流が磁場から受けるローレンツ力はこれと逆向きに働く。両者が釣り合った状態

∇p = j × B

が磁気流体力学（MHD）平衡の基本方程式であり、ここで p は圧力、j は電流密度、B は磁場である。この釣り合いが成り立つとき、磁力線は閉じた「磁面」をなして入れ子状に積み重なり、プラズマはその入れ子の内側に保持される。磁面の最も内側の点を磁軸、最も外側でプラズマと接する面を最外閉磁面（LCFS）と呼ぶ。平衡の解が得られると、圧力や電流といった物理量を磁面を座標として表せるため、輸送解析や安定性解析に共通して使える基準座標系が得られる。この意味で平衡計算は閉じ込め研究の「地図作り」に相当する。

平衡が成立するためには磁面が入れ子構造を保っていることが前提となる。磁場のねじれ（回転変換）が適切でないと磁面が破壊され、磁力線が面から抜け出してプラズマの閉じ込めが損なわれる。また圧力が異方的になる場合（磁場方向と垂直方向の温度が異なる場合）や、高速イオンの軌道幅が有限になる場合には、スカラー圧力の仮定を拡張した圧力テンソルを用いた平衡定式化が必要となり、これは高エネルギー粒子を多く含む燃焼プラズマで実際に問題となる。

軸対称平衡とグレード・シャフラノフ方程式

トカマクはトロイダル（ドーナツ）方向に完全な対称性を持つため、平衡問題はポロイダル断面の二次元問題に帰着する。トロイダル方向に対称性があるとき、磁場はポロイダル磁束 ψ とトロイダル電流束の二つの関数で書き表せ、力平衡は単一の非線形偏微分方程式、すなわちグレード・シャフラノフ方程式にまとめられる。この方程式は「与えられた圧力分布とトロイダル電流分布の下で、どのような磁面構造が力平衡を満たすか」を解くもので、解は外部コイル電流とプラズマ自身の電流が共同で作るポロイダル磁場の形として得られる。

グレード・シャフラノフ方程式の解き方には二つの流儀がある。一つは境界の形を固定して内部の電流・圧力分布を与え、磁面構造を順に求める「順問題」であり、もう一つは望むプラズマ形状と全電流などの大域量を先に指定し、それを実現するコイル電流を制約付き最適化で求める「逆問題」である。逆問題の解法は新装置の設計や運転シナリオの作成に使われ、リミッター配置や単一X点配置など多様な形状について、装置のポロイダル場コイル系がその形状を実現できるかどうかを事前に判定できる。また、圧力の異方性やトロイダル流、高速イオンの有限軌道幅といった効果をグレード・シャフラノフ方程式に取り込む拡張定式化も整備されており、標準的なスカラー圧力モデルでは捉えきれない平衡の歪みを評価できる。

プラズマ形状、X点とダイバータ配置

軸対称平衡の実用上の核心はプラズマ断面の「形状」にある。断面は上下方向に引き伸ばされた楕円形（伸長率 κ）や三角形に歪んだ形（三角率 δ）で特徴づけられ、これらの形状パラメータは閉じ込め性能と安定性の両方に影響する。例えば球状トカマクでは小さなアスペクト比（主半径と副半径の比）が平衡のスケーリングに強く効き、ブートストラップ電流の寄与が大きくなることが知られている。形状は外部の多極磁場コイルで制御でき、プラズマ平衡が外部磁場の摂動にどう応答するかを測定することは、鏡場系を含む各種装置の運転設計の基礎となっている。

境界の形を決めるもう一つの要素がX点である。ポロイダル磁場が局所的にゼロになる点（磁場零点）を作ると、そこから磁面が分離し、プラズマ境界は分離線で定義される。X点の下方（または上方）に磁力線の「脚」が伸び、プラズマから流出する熱と粒子を遠くのターゲット板に導くのがダイバータ配置である。単一X点、上下二重X点に加え、脚を大きく広げて熱流束密度を下げるスーパーX型など、複数の先進的ダイバータ配置が提案・実証されており、どの配置が実現できるかは平衡計算とコイル系の設計によって決まる。脚の広がり具合はターゲット位置での磁束拡大率という量で定量化され、これがプラズマ・壁相互作用の抑制の鍵となる。

三次元平衡：ヘリカル系と磁島

トカマクの軸対称性を欠くヘリカル系（ステラレータ）では、平衡は本質的に三次元問題となる。ねじれたコイルが作る磁場には軸対称系にない成分が現れ、磁面はトロイダル方向に変形する。それでも良く設計されたヘリカル系では磁面の入れ子構造が保たれ、プラズマは閉じ込められるが、圧力が高くなると回転変換の半径方向分布が単調でなくなるなど、トカマクには見られない平衡の振る舞いが現れる。これはプラズマ電流が作る自己場とヘリカル外部場の干渉によるもので、補助磁場で修正できる。三次元平衡の数値計算では、磁面に沿った「自然座標系」を用いる手法が発達し、解析的アプローチと併せて平衡の物理的解釈を与えてきた。

三次元系で特に重要なのが磁島の存在である。回転変換が特定の有理数値に一致する磁面上では、磁場の摂動が共鳴して磁面を破壊し、磁力線が島状の構造を描く。このとき「単一の磁軸と入れ子の磁面」という平衡の伝統的な仮定が成り立たなくなり、複数の磁軸を持つ平衡を扱う座標表現が必要となる。磁島は意図的に作ればプラズマ端の制御や不純物排出に利用できる一方、内部で成長すると磁面の破壊を通じて輸送を増大させる。軸対称系でも磁面が破壊された場合の異常輸送や抵抗の効果を平衡方程式に組み込む研究が進められている。また、多種粒子からなるプラズマでは各成分の平衡分布の共鳴的振る舞いが平衡近傍の振動として現れるなど、平衡の概念自体が多成分系で拡張を要する場合がある。

平衡再構成とリアルタイム形状制御

運転中のトカマクでは、プラズマの圧力と電流分布が加熱や電流駆動によって絶えず変化するため、平衡は固定されたものではなく時間とともに動く対象である。これを把握するのが平衡再構成である。磁場プローブ、磁束ループ、偏光計、トムソン散乱など複数の診断で得られた測定値から、力平衡を満たす電流・圧力分布を逆算する。従来は少数のパラメータで電流分布を近似し、磁場測定のみに基づいて単一の解を反復計算で求める手法が標準だったが、近年はベイズ推定を用いて、電子密度・電子温度など磁場以外の測定も整合的に取り込み、解の不確実性を事後分布として与える手法が実装されている。これにより、測定が許す平衡の幅そのものが定量化され、単一の「最もらしい解」に依存しない解析が可能になった。

図はベイズ推定による平衡再構成の結果で、(a) にポロイダル断面の磁束面と最外閉磁面が、(b)(c) に磁束面座標に対する電子密度と電子温度の分布が、従来の磁場のみによる再構成結果との比較で示されている。磁場測定と密度・温度測定が同一の平衡に整合するよう解かれている点が、この手法の本質的な特徴である。

再構成された平衡は形状制御の入力としても使われる。プラズマ境界の位置、X点の座標、ストライク点の位置といった磁気形状制御変数を、ポロイダル場コイル電流でフィードバック制御する仕組みが現代のトカマク運転の標準である。制御系は平衡応答の線形化モデルに基づいて設計され、リアルタイム平衡再構成が測定値から制御変数の現在値を逐次供給する。伸長率の高いプラズマは垂直方向に不安定になるため、垂直位置制御は特に高速な応答を要する。先進的ダイバータ配置では境界だけでなくダイバータ脚の幾何も同時に制御する必要があり、例えば球状トカマク装置では、外側境界半径、内側境界半径、X点の高さ、ストライク点位置を独立に目標値へ追従させる多変数制御が実証されている。フィードフォワードのみの運転では加熱による電流分布の変化が目標形状からのずれを生み、複数放電にわたる調整を要したのに対し、閉ループ制御により単一放電内で目標形状への収束と脚の伸長の制御が達成されている。この種の制御系設計は、モデルベースの閉ループシミュレーション環境で事前検証してから実機に移す手法で進められており、現在運転中の装置から将来の炉規模装置まで共通の枠組みとして広がっている。