A theoretical framework has been developed for an NBI scenario to model the hard non-linear evolution of global Alfvén eigenmodes (GAEs) where the adiabatic motion of phase-space structures (holes and clumps), associated with frequency chirping, occurs in generalised phase-space of slowing down energetic particles. The radial profile of the GAE is expanded using finite elements which allows update of the mode structure as the mode frequency chirps. Constants of motion are introduced to track the dynamics of energetic particles during frequency chirping by implementing proper action-angle variables and canonical transformations which reduce the dynamics essentially to 1D. Consequently, we specify whether the particles are drifting inward/outward as the frequency deviates from the initial MHD eigenfrequency. Using the principle of least action, we have derived the non-linear equation describing the evolution of the radial profile by varying the total Lagrangian of the system with respect to the weights of the finite elements. For the choice of parameters in this work, it is shown that the peak of the radial profile is shifted and also broadens due to frequency chirping. The time rate of frequency change is also calculated using the energy balance and we show that the adiabatic condition remains valid once it is satisfied. This model clearly illustrates the theoretical treatment to study the long range adiabatic frequency sweeping events observed for Alfvén gap modes in real experiments.
NBIシナリオに対する理論的枠組みが、周波数チャープに伴う位相空間構造（ホールおよびクランプ）の断熱運動が減速する高エネルギー粒子の一般化位相空間において生じる、グローバル・アルヴェン固有モード（GAE）の非線形発展をモデル化するために構築された。GAEの動径プロファイルは有限要素を用いて展開され、これによりモード周波数がチャープする際のモード構造の更新が可能となる。周波数チャープ中の高エネルギー粒子の動力学を追跡するために、適切な作用・角変数と正準変換を実装することにより運動不変量が導入され、これによって動力学は本質的に1次元に簡約される。その結果、周波数が初期MHD固有周波数からずれる際に、粒子が内方向または外方向にドリフトするかどうかを特定する。最小作用の原理を用いて、系の全ラグランジアンを有限要素の重みに関して変分することにより、動径プロファイルの時間発展を記述する非線形方程式を導出した。本研究におけるパラメータ選択に対して、周波数チャープにより動径プロファイルのピークがシフトし、かつ広がることが示される。周波数の時間変化率もエネルギー保存則を用いて計算され、このモデルが満たされると断熱条件が有効であり続けることを示す。このモデルは、実実験においてアルヴェンギャップモードに対して観測される長距離周波数チャープ現象を研究するための理論的取り扱いを明確に示すものである。