It has been shown that the mode amplitude and frequency evolution in the early non-linear stage of a near-threshold bump-on-tail system can be reproduced by solving the linear dispersion relationship at each time step using the non-linearly modified distribution function at an earlier time. The dispersion relationship gives two solutions with departing frequencies almost immediately after the flattening of the distribution function starts to cancel out the drive. One can therefore attribute the early onset of the chirping directly to the modification of the underlying dispersion relationship. The existence of the two waves is because of the beam branch of the beam-plasma instabilities created by the perturbed distribution function. After the two chirping branches are formed, their frequencies are locked to the location of the peaks in the nonlinear distribution function, while the peaks are pushed forwards by beating itself. The transition from the beating-and-chirping scenario to chirping with hole-clump pair creation is found to be determined by the overlapping criterion of the two phase-space islands created by the two chirping branches.
閾値近傍のバンプ・オン・テイル系の初期非線形段階におけるモード振幅と周波数の時間発展は、より早い時刻における非線形に変形された分布関数を用いて各時間ステップで線形分散関係を解くことにより再現できることが示されている。分散関係は、分布関数の平坦化が駆動を打ち消し始めた直後から、ほぼ即座に互いに離れていく周波数を持つ二つの解を与える。したがって、チャープの早期開始は、基礎となる分散関係の変形に直接起因すると考えられる。二つの波が存在するのは、摂動を受けた分布関数によって生み出されるビーム・プラズマ不安定性のビーム分枝によるものである。二つのチャープ分枝が形成された後、それらの周波数は非線形分布関数のピークの位置に固定されるが、そのピークはビーティング自体によって前方へ押し進められる。ビーティング・アンド・チャープシナリオから、ホール・クランプ対生成を伴うチャープへの遷移は、二つのチャープ分枝によって生成される二つの位相空間アイランドの重なり基準によって決定されることが見出された。