The Berk–Breizman (BB) extension of the bump-on-tail instability includes a finite, fixed wave damping (γd), and a collision operator with drag (νf) and diffusion (νd). The BB model is applied to a one-dimensional plasma, to investigate the kinetic nonlinearities, which arise from the resonance of a single electrostatic wave with an energetic-particle beam. For a fixed value of the linear drive normalized to the linear frequency, γL0/ω0 = 0.1, the long-time nonlinear evolution is systematically categorized as damped, steady-state, periodic, chaotic and chirping. The chirping regime is sub-categorized as periodic, chaotic, bursty and intermittent. Up–down asymmetry and hooked chirping branches are also categorized. For large drag, holes with quasi-constant velocity are observed, in which case the solution is categorized into steady, wavering and oscillating holes. Two complementary parameter spaces are considered: (1) the (γd, νd) space for fixed νd/νf ratios; (2) the (νf, νd) space for fixed γd/γL0 ratios, close to and far from marginal stability. The presence of drag and diffusion (instead of a Krook model) qualitatively modifies the nonlinear bifurcations. The bifurcations between steady-state, periodic and steady-hole solutions agree with analytic theory. Moreover, the boundary between steady and periodic solutions agrees with analytic theory. Nonlinear instabilities are found in both subcritical and barely unstable regimes. Quasi-periodic chirping is shown to be a special case of bursty chirping, limited to a region relatively far from marginal stability.
バンプ・オン・テール不安定性のバーク–ブライズマン (BB) 拡張は、有限で固定された波の減衰 (γd) と、抗力 (νf) と拡散 (νd) を持つ衝突演算子を含む。BB モデルは一次元プラズマに適用され、単一の静電波と高エネルギー粒子ビームの共鳴から生じる運動論的非線形性を調べる。線形周波数で規格化された線形駆動率の固定値 γL0/ω0 = 0.1 に対して、長時間の非線形発展は、減衰、定常状態、周期的、カオス的、チャーピングとして体系的に分類される。チャーピング領域は、周期的、カオス的、バースティ、間欠的に下位分類される。上下非対称性とフック状チャーピング分枝も分類される。大きな抗力に対しては、準一定速度を持つホールが観測され、その場合、解は定常、揺動、振動ホールに分類される。2つの相補的なパラメータ空間が考慮される：(1) 固定された νd/νf 比に対する (γd, νd) 空間；(2) 固定された γd/γL0 比に対する、臨界安定性に近い場合と遠い場合の (νf, νd) 空間。抗力と拡散の存在は（Krook モデルの代わりに）非線形分岐を定性的に変化させる。定常状態、周期的、定常ホール解の間の分岐は解析理論と一致する。さらに、定常解と周期解の間の境界は解析理論と一致する。非線形不安定性は、亜臨界およびわずかに不安定な領域の両方で見られる。準周期的チャーピングは、バースティチャーピングの特別な場合であり、臨界安定性から比較的遠い領域に限定されることが示される。