By expanding in terms of the parameter =ion Larmor radius/plasma radius ( ≪ 1), sets of approximate equations are obtained from Vlasov's equation for the low-β inhomogeneous plasma equilibria which occur in the inhomogeneous magnetic fields of the mirror machines. The different sets correspond to different physical regimes which require different ordering of the parameters. Thus at very low densities (b2 = 4πnMc2/B2 ≪ 1), it is essential to order various terms in Vlasov's equation such that the precessional drift velocity is of the same order as the frequency of the motion. This implies ω≈4Ωi for a "long-thin" machine (r∼2 ρ), and ω≈2 Ωi for "short-fat" machine (r∼ρ). In either case the "closed" equation for the phase-averaged zero-order distribution function is found to be identical to the Northrop-Teller "Liouville equation" for the guiding centre with the μ∇B and the curvature drifts appearing in the same order as the frequency of the motion. For a high density plasma (b2 = 4πnMc2/B2 ≫ 1) the terms are ordered such that ω≈2Ωi for a "long-thin" machine (the finite Larmor radius case). The set of approximate equations for this case and the resulting eigenvalue equation are found to be completely analogous to those for the cylindrical geometry as found by Rosenbluth and Simon. In particular, for the "special case" of Rosenbluth and Simon the m = 1 mode is found to be neutral stable, in the absence of gravity as in the hydromagnetic limit.
パラメータ = イオン・ラーマー半径／プラズマ半径（≪1）による展開によって、ミラー装置の非一様磁場中に生じる低β非一様プラズマ平衡に対して、Vlasov方程式から近似方程式の組が得られる。異なる組は、パラメータの異なる順序付けを必要とする異なる物理的領域に対応する。したがって、非常に低い密度（b2 = 4πnMc2/B2 ≪ 1）では、歳差ドリフト速度が運動の周波数と同じ次数になるようにVlasov方程式の様々な項を順序付けることが不可欠である。これは、‘長く細い’装置（r∼2ρ）ではω≈4Ωi を意味し、‘短く太い’装置（r∼ρ）ではω≈2Ωi を意味する。どちらの場合も、位相平均された零次分布関数に対する‘閉じた’方程式は、μ∇Bおよび曲率ドリフトが運動の周波数と同じ次数で現れる、ガイド中心に対するNorthrop-Tellerの『Liouville方程式』と同一であることがわかる。高密度プラズマ（b2 = 4πnMc2/B2 ≫ 1）の場合、項は、‘長く細い’装置（有限ラーマー半径の場合）に対してω≈2Ωi となるように順序付けられる。この場合の近似方程式の組と結果として得られる固有値方程式は、RosenbluthとSimonによって見出された円筒幾何学に対するものと完全に類似していることがわかる。特に、RosenbluthとSimonの『特別な場合』に対しては、重力が存在しない場合、m = 1 モードは電磁流体力学極限におけるのと同様に中立安定であることがわかる。