Three energy principles for magnetostatic stability are known that are supposed to give necessary and sufficient conditions. For this reason their minimization has been the subject of a lot of work in plasma physics. Indeed one can easily justify the sufficiency of the conditions of stability devised from these energy principles. But to the demonstrate their necessity one usually assumes that the operators of the perturbed linearized motions have a complete spectrum of eigenfunctions in the space of square integrable functions. We show the weakness of that assumption and propose two new demonstrations of the necessity of energy principles for stability that require less stringent assumptions. The first demonstration involves some properties of the Laplace transform. In the second one we use the integral invariants of the linearized motion. The conclusions in both cases are identical: if one finds a trial function which makes the potential energy negative, the equilibrium is unstable. We give lower and upper bounds for the growth rate of the unstable perturbation.
静磁気安定性に関する三つのエネルギー原理は、必要十分条件を与えるとされている。このため、その最小化はプラズマ物理学において多くの研究の対象となってきた。実際、これらのエネルギー原理から導かれる安定性の条件の十分性を正当化することは容易である。しかし、その必要性を証明するためには、通常、摂動された線形化運動の作用素が、二乗可積分関数の空間において完全な固有関数スペクトルを持つことを仮定する。我々は、その仮定の脆弱性を示し、より緩い仮定で済む、エネルギー原理の必要性に関する二つの新しい証明を提案する。第一の証明は、ラプラス変換のいくつかの性質を利用する。第二の証明では、線形化運動の積分不変量を用いる。いずれの場合も結論は同一である：もし試験関数によってポテンシャルエネルギーが負になるならば、平衡状態は不安定である。我々は、不安定摂動の成長率に対して下限と上限を与える。