Helicon wave (whistler waves bounded transversely by a magnetic field surface) propagation is investigated for a cylindrically symmetric curved (flaring) boundary using a finite-element method where the propagation region is divided into a sequence of truncated cones. In each conical segment, a local spherical coordinate system is used with the origin at the apex of the cone. A vector wave equation for the fields is formulated for a cold plasma and reduced, in spherical coordinates, to a pair of coupled partial differential equations (PDEs) for two scalar functions. The PDEs are separable for the azimuthal eigenvalue m = 0. The -dependence is a Legendre function, with non-integer eigenvalues determined by the cone angle. The dependence on the radial coordinate, x, satisfies a fourth-order ordinary differential equation (ODE). A straightforward numerical integration of the equation from to fails for large values of , because of the existence of an exponentially growing solution to the equation. Consequently, a different approach is needed. Four independent solutions, valid for , in the form of power series in x (PS) are obtained which are each asymptotically proportional to as . For x large, four asymptotic expansions (AE) are obtained in the form of series in 1/x times or . The problem then is to find four linear combinations of the four PSs, each of which approaches one of the AEs in the limit by first deriving a double-integral representation of each PS, valid for all x, and then using its limit to match each AE to a linear combination of the PSs. For special values of or 4N, N an integer) closed-form solutions (polynomials times exponentials) result that are exact representations of the solution for all x. Solutions are computed and illustrated for an outgoing wave using the closed-form solution for special values of , and as a function of and x using the PS and AE, which have a large range of overlap. The propagating solutions of the ODE are also obtained using a WKB method and are used to calculate the propagation in a slowly diverging parabola of revolution.
ヘリコン波（磁場面によって横方向に束縛されたホイッスラー波）の伝播は、有限要素法を用いて、円筒対称な湾曲（フレア）境界に対して調査される。ここで、伝播領域は一連の切頭円錐に分割される。各円錐セグメントでは、円錐の頂点を原点とする局所球座標系が使用される。場に対するベクトル波動方程式は、冷たいプラズマに対して定式化され、球座標において、2つのスカラー関数に対する連立偏微分方程式（PDE）の組に簡約される。PDEは、方位角固有値 m = 0 に対して分離可能である。 -依存性は、円錐角によって決定される非整数固有値を持つルジャンドル関数である。動径座標 x への依存性は、4階の常微分方程式（ODE）を満たす。方程式の から への直接的な数値積分は、 の大きな値に対して失敗する。なぜなら、方程式には指数関数的に増大する解が存在するからである。したがって、異なるアプローチが必要である。 に対して有効な4つの独立解が、x のべき級数（PS）の形で得られ、それぞれは のとき に漸近的に比例する。x が大きい場合、4つの漸近展開（AE）が、1/x の級数に または を掛けた形で得られる。次に問題となるのは、4つのPSの4つの線形結合を見つけることである。それぞれは、極限 においてAEの1つに近づく。そのために、まず各PSの二重積分表示を導出し（これはすべての x に対して有効）、次にその 極限を用いて各AEをPSの線形結合に一致させる。 の特別な値、または 4（N は整数）に対して、閉形式解（多項式と指数関数の積）が得られ、これらはすべての x に対する解の正確な表現である。解は、進行波に対して、特別な の値に対する閉形式解を用いて計算され、また PS と AE を用いて と x の関数として計算・図示される。PS と AE は広い範囲で重なる。ODEの伝播解は、WKB法を用いても得られ、ゆっくりと発散する回転放物面内の伝播を計算するために使用される。