The present paper is concerned with the well-known problem of electrostatic waves in a uniform collisionless plasma, in the linearized approximation. Although much work has already been done on this problem, a number of questions still arise. In particular a slightly unstable wave corresponds to an exact normal mode solution, whereas a slightly damped wave has a much more limited meaning: it is encountered by solving the equations with initial conditions in the manner first introduced by Landau.In this paper a new type of normal mode is introduced which can represent damped waves as well as unstable ones, thus preserving the continuity between both kinds of waves. This is possible by considering the distribution function as a linear functional, or as an analytic function defined for complex values of the velocity. A complete system of such normal modes is formed. The spectrum consists of discrete eigenvalues corresponding to waves, either growing or damped, together with a continuum that may be chosen to have an imaginary part such that it corresponds to rapidly damped transients. An expansion formula is derived and the expansion given by Van Kampen and Case is recovered as a special case. This expansion is used to solve the equation for the distribution function and the relation to the solution by Laplace transformation is discussed.
本論文は、一様な無衝突プラズマ中の静電波というよく知られた問題を、線形化近似の下で扱うものである。この問題についてはすでに多くの研究がなされているが、依然としていくつかの疑問が生じる。特に、わずかに不安定な波は厳密なノーマルモード解に対応するのに対し、わずかに減衰する波ははるかに限られた意味しか持たない。すなわち、それはランダウによって最初に導入された方法で初期条件付きの方程式を解くことによって現れるのである。本論文では、不安定波だけでなく減衰波も表現できる新しいタイプのノーマルモードを導入し、これにより両方の種類の波の間の連続性が保たれる。これは、分布関数を線形汎関数として、あるいは速度の複素値に対して定義された解析関数として考えることによって可能となる。そのようなノーマルモードの完全系が構成される。スペクトルは、成長または減衰のいずれかの波に対応する離散固有値と、急速に減衰する過渡現象に対応するように虚部を選ぶことができる連続部分とから成る。展開公式が導出され、Van Kampen と Case によって与えられた展開が特別な場合として再現される。この展開は分布関数の方程式を解くために用いられ、ラプラス変換による解との関係が議論される。