An integral equation which generalizes the dispersion relation for electrostatic plasma modes with wave numbers in the presence of a large-scale magnetoacoustic (pump) oscillation is derived. This calculation is accurate to all orders in the parameter ⋅ where is the amplitude of the particle displacement induced by the pump wave. Expanding in the latter parameter, we obtain a second-order differential equation including three-wave processes, non-linear frequency shifts and nonlinear Landau damping. The electromagnetic wave may disintegrate into two Bernstein waves (three-wave interaction) if the appropriate resonance condition (between the real parts of the frequencies) can be satisfied approximately. However, a Bernstein wave can still be excited when the resonance condition is not fulfilled. In the latter case, instability arises through inverse non-linear Landau damping, and the non-linear dispersion relation can be approximated, to a high degree of accuracy, by a three-by-three matrix. In the former case, the dispersion relation reduces, to a good approximation, to the standard two-by-two matrix only if the linear decrements of both electrostatic waves are sufficiently small; otherwise, the three-wave process identifies with the non-linear Landau instability calculated in the appropriate limit (of matching between the real parts of the frequencies). The relative importance of resonant and off-resonant coupling of the pump wave to the plasma is discussed.
静電プラズマモードの分散関係を一般化する積分方程式が、大規模な磁気音響（ポンプ）振動の存在下で、波数 に対して導出される。この計算は、パラメータ ⋅ のすべての次数に対して正確である。ここで、 はポンプ波によって誘起される粒子変位の振幅である。後者のパラメータで展開すると、三波過程、非線形周波数シフト、および非線形ランダウ減衰を含む2階微分方程式が得られる。電磁波は、適切な共鳴条件（周波数の実部間の）が近似的に満たされ得る場合、2つのバーンスタイン波（三波相互作用）に崩壊する可能性がある。しかし、共鳴条件が満たされない場合でも、バーンスタイン波は励起され得る。後者の場合、不安定性は逆非線形ランダウ減衰を通じて生じ、非線形分散関係は高い精度で3×3行列によって近似され得る。前者の場合、分散関係は、両方の静電波の線形減衰率が十分に小さい場合にのみ、標準的な2×2行列に良好な近似で帰着する。そうでなければ、三波過程は、周波数の実部間の一致という適切な極限で計算された非線形ランダウ不安定性と同一視される。ポンプ波とプラズマとの共鳴および非共鳴結合の相対的重要性が議論される。