In recent decades, there have been many attempts to construct symplectic integrators with variable time steps, with rather disappointing results. In this paper, we identify the causes for this lack of performance, and find that they fall into two categories. In the first, the time step is considered a function of time alone, Δ = Δ(t). In this case, backward error analysis shows that while the algorithms remain symplectic, parametric instabilities may arise because of resonance between oscillations of Δ(t) and the orbital motion. In the second category the time step is a function of phase space variables Δ = Δ(q, p). In this case, the system of equations to be solved is analyzed by introducing a new time variable τ with dt = Δ(q, p) dτ. The transformed equations are no longer in Hamiltonian form, and thus do not benefit from integration methods which would be symplectic for Hamiltonian systems. We analyze two methods for integrating the transformed equations which do, however, preserve the structure of the original equations. The first is an extended phase space method, which has been successfully used in previous studies of adaptive time step symplectic integrators. The second, novel, method is based on a non-canonical mixed-variable generating function. Numerical trials for both of these methods show good results, without parametric instabilities or spurious growth or damping. It is then shown how to adapt the time step to an error estimate found by backward error analysis, in order to optimize the time-stepping scheme. Numerical results are obtained using this formulation and compared with other time-stepping schemes for the extended phase space symplectic method.
近年、可変時間刻みを持つシンプレクティック積分器を構築する試みが多く行われてきたが、その結果はかなり期待外れであった。本論文では、この性能不足の原因を特定し、それらが2つのカテゴリーに分類されることを示す。第1のカテゴリーでは、時間刻みは時間のみの関数とみなされ、Δ = Δ(t) と表される。この場合、後方誤差解析により、アルゴリズムはシンプレクティック性を保つものの、Δ(t) の振動と軌道運動の間の共鳴によりパラメトリック不安定性が生じ得ることが示される。第2のカテゴリーでは、時間刻みは位相空間変数の関数とみなされ、Δ = Δ(q, p) と表される。この場合、新しい時間変数 τ を導入し、dt = Δ(q, p) dτ とすることで、解くべき方程式系を解析する。変換後の方程式はもはやハミルトン形式ではなく、したがってハミルトン系に対してシンプレクティックとなる積分法の利点を享受できない。我々は、変換後の方程式を積分するための2つの方法を解析する。それらは、元の方程式の構造を保存するものである。第1の方法は拡張位相空間法であり、これは可変時間刻みシンプレクティック積分器に関する先行研究で首尾よく用いられてきた。第2の方法は新規であり、非正準混合変数生成関数に基づくものである。両方の方法に対する数値実験は、パラメトリック不安定性やスプリアスな増幅・減衰を生じることなく、良好な結果を示す。次に、後方誤差解析によって得られる誤差推定値に時間刻みを適応させ、時間刻みスキームを最適化する方法を示す。この定式化を用いて数値結果を得て、拡張位相空間シンプレクティック法に対する他の時間刻みスキームと比較する。