Boundary conforming coordinates are commonly used in plasma physics to describe the geometry of toroidal domains, for example, in three-dimensional magnetohydrodynamic equilibrium solvers. The magnetohydrodynamic equilibrium configuration can be approximated with an inverse map, defining nested surfaces of constant magnetic flux. For equilibrium solvers that solve for this inverse map iteratively, the initial guess for the inverse map must be well-defined and invertible. Even if magnetic islands are to be included in the representation, boundary conforming coordinates can still be useful, for example to parametrize the interface surfaces in multi-region, relaxed magnetohydrodynamics or as a general-purpose, field-agnostic coordinate system in strongly shaped domains. Given a fixed boundary shape, finding a valid boundary conforming mapping can be challenging, especially for the non-convex boundaries from recent developments in stellarator optimization. In this work, we propose a new algorithm to construct such a mapping, by solving two Dirichlet–Laplace problems via a boundary integral method. We can prove that the generated harmonic map is always smooth and has a smooth inverse. Furthermore, we can find a discrete approximation of the mapping that preserves this property.
境界適合座標は、プラズマ物理学においてトロイダル領域の幾何形状を記述するために、例えば三次元磁気流体力学平衡ソルバーで一般的に使用されている。磁気流体力学平衡配置は、磁束一定の入れ子状曲面を定義する逆写像によって近似することができる。この逆写像を反復的に解く平衡ソルバーでは、逆写像の初期推測が明確に定義され、可逆でなければならない。表現に磁気島を含める場合でも、境界適合座標は依然として有用である。例えば、多領域緩和磁気流体力学における界面をパラメータ化するため、あるいは強く変形された領域における汎用の場に依存しない座標系として使用できる。固定された境界形状が与えられたとき、妥当な境界適合写像を見つけることは、特に近年のステラレーター最適化による非凸境界に対しては困難であり得る。本研究では、境界積分法によって2つのディリクレ–ラプラス問題を解くことにより、そのような写像を構築する新しいアルゴリズムを提案する。生成される調和写像が常に滑らかであり、滑らかな逆写像を持つことを証明できる。さらに、この性質を保つ写像の離散近似を見つけることができる。