Over the last decade, a variational principle based on a generalisation of Taylor's relaxation, referred to as multi-region relaxed magnetohydrodynamics (MRxMHDs) has been developed. The numerical solutions of the MRxMHD equilibria have been constructed using the Stepped Pressure Equilibrium Code (SPEC) (Hudson et al 2012 Phys. Plasmas19 112502). In principle, SPEC could also be established to describe the MRxMHD stability of an equilibrium. In this work, a theoretical framework is developed to relate the second variation of the energy functional to the so-called Hessian matrix, enabling the prediction of MHD linear instabilities of cylindrical plasmas, and is implemented in SPEC. The negative and positive eigenvalues of the Hessian matrix predict the stability of an equilibrium. Verification studies of SPEC stability results with the M3D-C1 code and the tearing mode criterion have been conducted for ideal and resistive MHD instabilities, respectively, in a pressureless cylindrical tokamak, and have shown good agreement. Our stability analysis is a critical step towards understanding the MHD stability of three-dimensional MHDs where nested flux surfaces, magnetic islands and stochastic regions co-exist.
過去10年にわたり、テイラーの緩和の一般化に基づく変分原理である、多領域緩和磁気流体力学（MRxMHDs）が開発されてきた。MRxMHD平衡の数値解は、階段状圧力平衡コード（SPEC）（Hudson et al 2012 Phys. Plasmas 19 112502）を用いて構築されてきた。原理的には、SPECは平衡のMRxMHD安定性を記述するためにも確立され得る。本研究では、エネルギー汎関数の第二変分をいわゆるヘッセ行列に関連付ける理論的枠組みを開発し、円柱プラズマのMHD線形不安定性の予測を可能にして、SPECに実装した。ヘッセ行列の負および正の固有値は、平衡の安定性を予測する。SPECの安定性結果の検証研究は、無圧力円柱トカマクにおける理想MHD不安定性および抵抗性MHD不安定性に対して、それぞれM3D-C1コードおよびテアリングモード判定基準を用いて実施され、良好な一致を示した。我々の安定性解析は、入れ子状の磁気面、磁気島、およびストカスティック領域が共存する三次元MHDのMHD安定性を理解するための重要な一歩である。