バーンスタイン波

バーンスタイン波（Bernstein wave）とは、磁場中のプラズマを垂直方向（磁場に垂直な方向）に伝わる静電型の固有振動モードであり、電子あるいはイオンのラーモア運動とサイクロトロン運動の高調波に結びついた波動である。1950年代に I. バーンスタインが運動論的分散関係を導いたことに由来する。この波の最大の特徴は、通常の電磁波モードが伝播できなくなる高密度側（プラズマ周波数がサイクロトロン周波数を超える「過高密度」領域）でも存在しうる、密度カットオフを持たない静電波であるという点にある。このため、電子サイクロトロン加熱の適用密度上限を超える高密度プラズマへのマイクロ波加熱・電流駆動の手段として、また過高密度プラズマからの放射を用いた診断として、核融合研究で重要な位置を占める。分散関係の全体像は、低周波側のイオン・バーンスタイン波（IBW）から高周波側の電子・バーンスタイン波（EBW）まで、下部混成波を経て連続的につながった一連の高調波分枝として理解される。

図は、下部混成波（LHW）から上部混成周波数付近の EBW に至るまでの最初の50本のイオン・バーンスタイン高調波分枝の分散曲線を、周波数と平行波数の平面に描いたものである。各分枝はイオン・サイクロトロン高調波の直上に「止まり」、隣接分枝と上部混成波（UH）の漸近線へと積み重なる様子が見て取れる。SX は異常（X）モードの冷プラズマ分散曲線であり、EBW は ω = ω_ce（電子サイクロトロン周波数）と ω = ω_UH（上部混成周波数）の間に収まる。

定義と分散関係

バーンスタイン波は、磁場に垂直に伝わる波のうち、電場がほぼ波の伝播方向に平行な（縦波である）静電モードである。冷プラズマ模型では、垂直伝播の電磁波は上部混成共鳴で止まり、それ以上高密度側へ進めない。しかし電子（やイオン）は磁場の周りをラーモア半径で回転しており、波長がラーモア半径に近づくと、粒子は一周期の間に位相の異なる場所を通るため、サイクロトロン周波数の整数倍の高調波（n ≥ 1）との共鳴が可能になる。この有限ラーモア半径効果（FLR 効果）を取り込んだ運動論的分散関係がバーンスタインの分散関係であり、各高調波ごとに一つの分枝が現れる。

分散関係の構造は次の通りである。波数を大きく（波長をラーモア半径より十分短く）すると、各分枝の周波数はサイクロトロン高調波 nΩ に漸近する。波数を小さくすると、分枝は一つ下の高調波との間の「回避交差」を経て、最終的に上部混成周波数（電子・バーンスタイン波の場合）あるいは下部混成周波数帯（イオン・バーンスタイン波の場合）に収束する。つまり無数の高調波分枝が、上部混成層を「入口」として一つの連続した構造を形成しており、図に示したように周波数空間で ω_ce と ω_UH の間に詰め込まれる。このため EBW は密度カットオフを持たず、ω_pe > Ω_e の過高密度プラズマでも伝播できる。一方で、波がコアに進むにつれて波長が縮み、λ = (N_⊥/Y)²/μ_e で表されるラーモア半径パラメータが 1 程度以上になるため、冷プラズマ近似や弱相対論近似の適用範囲を容易に超える。反応器級の電子温度（Te ~ 20 keV）では相対論的効果が分散関係そのもの（線の軌跡と分極）を変えるため、完全相対論的な分散関係の評価が現在も研究課題となっている。非マクスウェル分布や塵プラズマ、対生成プラズマ（パルサー大気など）への一般化も行われており、超相対論的な場合には許される波の存在範囲自体がパラメータで制限されるなど、古典プラズマと異なる振る舞いが知られている。

モード変換によるアクセス：O-X-B と X-B

EBW は静電波なので、真空から入射した電磁波（マイクロ波）を直接励起することはできない。加熱・電流駆動に用いるには、電磁モードから EBW へのモード変換が必要である。標準的な経路は O-X-B 二段変換である。まず低磁場側から普通（O）モードのマイクロ波を入射し、O モードの密度カットオフ層で異常（X）モードへ変換する。変換された X モードは上部混成共鳴層（UHR）まで伝わり、そこで EBW に変換される。O-X 変換はカットオフと共鳴層の幾何配置に敏感で、最適な入射角度は磁場方向に対する特定の傾き（最適 N_∥）に鋭く依存する。この「O-X 変換窓」は密度勾配が急なほど広くなり、H モードのペデスタルのような急峻な密度勾配を持つプラズマで有利である。実際、TCV トカマクでは H モードの自然な密度勾配を利用して O-X-B 変換による EBW 加熱が初実証され、従来の電子サイクロトロン加熱の上限密度を大きく超える密度での局所加熱が確認された。W7-AS ステラレータでも 140 GHz の第2〜第4高調波 EBW により 3×10²⁰ m⁻³ を超える極高密度で加熱が成功している。

図は球面トカマク ST40 の H モード想定シナリオにおける密度・温度・磁場の半径方向分布と、45 GHz のポンプ波に対する O モードカットオフ（点線）と上部混成層（破線）の位置を示したものである。矢印は O-X-B 二段変換の一次元投影を表し、カットオフと UHR の間の狭い領域で X モードが EBW へ変換される様子が分かる。密度勾配の急峻さが変換窓の幅を決めるため、ペデスタル構造そのものがアクセス効率を左右する。

もう一つの経路は X-B 直接変換である。X モードの波が上部混成層に到達すれば、そこで EBW へ線形変換される。これはイオン・サイクロトロン周波数帯（ICRF）の高速波（FW）がイオン側のモード変換で IBW を励起するのと同じ物理（共鳴層での静電波へのエネルギー移行）の電子版である。変換効率は入射角度と密度勾配に依存し、逆に、過高密度プラズマから放出される EBW が UHR で X モードに、さらに O モードに変換されて真空へ出る逆過程が診断に使われる（後述）。

電子バーンスタイン波加熱と電流駆動

EBW がコアに侵入すると、電子サイクロトロン共鳴（基本波または高調波）を通じて電子にエネルギーを渡す。共鳴条件は磁場と波の平行波数で決まり、非対称な共鳴電子集団へのダンピングによりトロイダル電流を駆動できる（EBW 電流駆動、EBCD）。EBW は密度カットオフを持たないため、ω_pe > Ω_e の過高密度プラズマでも作動する電流駆動手段であり、高密度運転が前提の球面トカマクで特に有力視されている。球面トカマク STEP の設計検討では、オフ軸 EBCD が定常運転において電子サイクロトロン電流駆動の約3倍の効率を持つと予測されており、100 MW 超のマイクロ波出力で約 4 MA の補助定常電流を賄う候補とされている。MAST では EBW を用いたプラズマ電流立ち上げ（start-up）も実証されており、中心ソレノイドに頼らない電流生成の手段として注目されてきた。

電流駆動効率は入射条件とプラズマ状態に敏感で、伝播はレイトレーシングで、ダンピングと電子応答はフォッカー・プランク方程式で模型化するのが標準である。反応器級の温度では相対論的効果が二重に効く。一方で共鳴曲線のシフト・広がりを通じてダンピングを変え、他方で衝突頻度を変えて電流駆動効率を変える。さらに相対論的伝播は線の軌跡と分極そのものを変え、低磁場側の共鳴幅を狭めるため、非相対論的なレイトレーシングと相対論的ダンピングを組み合わせた模型では弱ダンピング近似が破れてしまう場合がある。このため完全相対論的な分散関係をトロイダル・レイトレーシングに組み込む計算手法の開発が進められている。

図は、異なる入射周波数（91, 99, 105 GHz）について O-X-B 変換を経た EBW のレイ軌道をトロイダル断面の小縦断面上に描いたものである。黒の破線が上部混成共鳴層、シアンの等高線が O モードカットオフを示し、色の違いは O-X 変換の一致条件を表すパラメータの違いに対応する。入射条件のわずかな違いが EBW がコア深部へ到達できるか否かを分ける様子が読み取れる。

イオン・バーンスタイン波と ICRF モード変換

イオン・バーンスタイン波は、同じ物理がイオンのラーモア運動とイオン・サイクロトロン高調波に現れたものである。ICRF 帯の高速波（compressional wave）加熱では、波がイオン・サイクロトロン共鳴や二イオン共鳴層に達すると、そこで IBW への線形モード変換が起こりうる。変換された IBW は短波長の静電波としてプラズマ中を進み、イオン・サイクロトロン高調波や電子とのランダウダンピングを通じてエネルギーを放出する。JIPP T-IIU や FTU、PBX-M、HT-7 など多くの装置で IBW 加熱実験が行われ、改善閉じ込めの達成や、重水素プラズマでの加熱効果が報告されてきた。多イオン種プラズマでは IBW の集団的挙動や共鳴層構造がイオン組成に依存するため、アルファ粒子加熱の観点からも非線形相互作用が研究されてきた。

IBW の吸収には一つ注意すべき点がある。モード変換層近くでは電磁補正が局所分散関係を修正するため電子ランダウダンピングは強く抑えられるが、波長がイオン・ラーモア半径以下に短くなると電子ランダウダンピングが再び効いてくる。多くの全波コードが解くのは小ラーモア半径近似の波動方程式であり、この極短波長でのダンピング開始を正しく記述できないため、実際よりダンピングを過小評価する傾向がある。これは IBW 加熱の電子・イオン間のエネルギー配分を評価する上で本質的な問題である。

一方、高速波加熱の妨害としての IBW も重要である。高速波アンテナは、目的とする高速波だけでなく、エッジの慢波（slow wave）やエッジ IBW にも結合しうる。この寄生結合はアンテナ近傍の高周波シース形成とプラズマ密度上昇を引き起こし、アンテナ性能や閉じ込めに影響するため、高速波加熱の設計では IBW への寄生カップリングの抑制が考慮される。

診断としてのバーンスタイン波放射

EBW には密度カットオフがないため、過高密度プラズマのコアからも放射が外へ出てくる。これは O-X-B 変換の逆過程を通じて起こる。コアで発生した EBW が上部混成層で X モードに、さらに O モードに変換されて真空へ抜ける。この放射のスペクトルは、局所的なサイクロトロン放射成分と、非局所的な広帯域高周波成分からなる。サイクロトロン放射と同様、周波数と磁場強度の対応を通じて放射位置を同定できるため、過高密度プラズマの電子温度分布を求める診断手段となる。カーボン注入などでエッジ温度を擾乱し、放射周波数と位置の対応を実験的に確認した例では、この原理の妥当性が示されている。National Spherical Torus Experiment では H モード・プラズマにおけるモード変換 EBW 放射の増強が観測され、放射強度がモード変換窓の透過性を反映することが示された。トーラス・プラズマでの電磁場直接測定による EBW の直接検出も試みられている。電子サイクロトロン診断に密度上限がないという点は、EBW 加熱と EBW 診断が同じ O-X-B 窓を共有することを意味し、高密度プラズマの加熱と診断の両方の運転範囲を拡げる可能性を持っている。