フォッカー・プランク

フォッカー・プランク方程式は、確率的な微小変化を受けて分布関数が時間発展する様子を記述する偏微分方程式であり、プラズマ物理では主に、クーロン衝突や高周波加熱によって粒子の速度分布がマクスウェル分布からどのように歪むかを求める手法として用いられる。ボルツマン方程式を、衝突による速度空間での「拡散」として近似した形であり、核融合プラズマの加熱・電流駆動・輸送の解析における標準的な道具となっている。

フォッカー・プランク方程式：速度空間での拡散

ブラウン運動の記述から出発するフォッカー・プランク方程式は、確率変数の確率密度関数が、ドリフト項と拡散項の作用下で時間発展する様子を与える。プラズマでは、この「確率変数」を粒子の速度ベクトルと読み替える。クーロン衝突は1回あたりの散乱角が小さい多数の遠距離衝突からなるため、個々の衝突をイベントとして扱うボルツマン衝突積分の代わりに、速度空間での連続的なドリフト(摩擦・減速)と拡散(速度の広がり)として衝突効果を表すのが自然であり、ここにフォッカー・プランク記述の物理的根拠がある。分布関数 f(v, t) に対する方程式は一般に

∂f/∂t + ∂/∂v·(A f) − 1/2 ∂²/∂v∂v:(D f) = S

の形に書かれ、A はドリフト係数(摩擦)、D は拡散テンソルである。速度空間の次元は、等方性を仮定すればエネルギー1次元、磁場に沿ったピッチ角を含めれば2次元となり、トカマクでは磁気面にバウンス平均した2次元速度空間で解くのが標準的である。

高周波加熱されたプラズマでは、分布関数がマクスウェル分布から大きく歪むため、この方程式を解くことが実験解釈の鍵となる。波が吸収される様子と、吸収された粒子の分布関数がどう変化するかを同時に求める枠組みが、次の図に示すような反復計算として構成されている。

図は、波動ソルバーとフォッカー・プランク・ソルバーを交互に回す自己無撞着計算の流れを示したものである。左のパネルにはトカマク断面積上の高周波パワー吸収密度の分布が、右のパネルにはそれを入力として得られた、半径位置ごとのイオン分布関数の速度依存性が描かれている。マクスウェル分布を仮定して波の吸収を計算し、得られた吸収パワーで分布関数を更新し、その分布で再び波の吸収を計算する、という反復を収束させることで、加熱と分布の歪みの相互影響が求まる。

クーロン衝突に対するランダウ・フォッカー・プランク演算子

完全電離プラズマの衝突は荷電粒子間のクーロン力によるものであり、これに特化したフォッカー・プランク演算子はランダウ衝突積分として知られる。ランダウ・フォッカー・プランク演算子は、衝突する2種の粒子の分布関数の畳み込みでドリフト・拡散係数が書かれ、質量・電荷・温度の異なる種間でエネルギー交換の非対称性を正しく表す。軽い粒子(電子)は重い粒子(イオン)からエネルギーをほとんど受け取らず、重い粒子は軽い粒子に対して急速に減速する、という「減速の階層」が自然に出てくる。高周波で加速された少数種イオンが主成分イオンにエネルギーを渡る割合は、この演算子によって決まり、加熱効率の予測の核心となる。

この演算子は粒子数・運動量・エネルギーの保存則を厳密に満たすため、数値計算でも保存性を保つ離散化が重要となる。また、衝突の遠距離成分を遮断する動的遮蔽により有効な積分範囲が決まり、その対数項(クーロン対数)の扱いが理論と数値の両方で主題となる。密度が高くクーロン対数が小さくなる状況では、単純なランダウ演算子の枠組みを超えて、より強く相関するプラズマへの拡張が理論的に研究されている。

数値解法とフォッカー・プランク・コード

速度空間のフォッカー・プランク方程式は、差分法や有限要素法で離散化され、時間発展または定常解の反復計算として解かれる。核融合研究では、電子サイクロトロン加熱・イオンサイクロトロン加熱・中性粒子入射を扱う汎用コード群が整備されており、2次元速度空間で電子のトラップ効果やオーミック電場を含めた計算が日常的に行われる。レーザープラズマのような非磁化系では、ブラソフ方程式とフォッカー・プランク衝突項を連立して解くコードも用いられる。

計算負荷が高いこと自体が近年の主題になっている。波動ソルバーとフォッカー・プランク・ソルバーを反復結合する自己無撞着計算は1回の時間ステップあたり数分を要することがあり、輸送コードへの組み込みやリアルタイム制御には向かない。このため、結合計算の入出力から機械学習によるサロゲートモデルを構築し、推論時間をミリ秒から数十マイクロ秒程度に短縮する試みが進んでいる。サロゲート化では、少数種イオン加熱のように電子と複数のイオン種が波の吸収を競い、分布関数の自己無撞着発展まで含めて初めて物理が正しくなる場面を、どこまで再現できるかが焦点となる。

応用：高周波加熱・電流駆動・非マクスウェル分布

フォッカー・プランク解析が最も力を発揮するのは、高周波加熱で分布関数が歪む場面である。イオンサイクロトロン共鳴加熱では、少数種イオン(例えば重水素・三重水素プラズマに数パーセント混ぜたヘリウム3)が基本共鳴または高調波共鳴で波のパワーを吸収し、垂直方向の速度成分を増やされて高エネルギー尾を形成する。この尾の形は、共鳴条件とクーロン衝突による減速の競合で決まり、ピッチ角ごとに異なる分布となる。実際、加熱されたイオンの分布をピッチ角別に見ると、磁場に垂直な運動を持つ粒子ほど高エネルギー尾を持ち、マクスウェル分布から大きく外れる様子が計算で示される。

図は、異なるピッチ角 μ における加熱イオンのエネルギー分布 F(E) を、二つの計算手法(有限要素波動ソルバーとフォッカー・プランク・コードの結合、および全波ソルバーとフォッカー・プランク・コードの結合)で比較したものである。いずれの手法でも、マクスウェル分布(破線の基準)に対して数百keV に及ぶ高エネルギー尾が形成され、ピッチ角が垂直に近い成分ほど尾が長くなるという同じ傾向が再現されており、手法間の一致も良好である。

加熱効率の最適化も重要な応用である。高エネルギー化した少数種イオンが主成分イオンと電子のどちらに多くエネルギーを渡すかは、イオンの臨界エネルギーと加熱イオンの平均エネルギーの大小で決まる。吸収パワー密度を適度に抑えて吸収領域を広げ、加熱イオンの平均エネルギーを臨界エネルギー以下に保てば、主成分イオンへの加熱割合が増える。ITER の初期立ち上げ相を想定した三種混合加熱の設計では、この種のフォッカー・プランク計算が中心役を果たす。電子サイクロトロン加熱では、共鳴層での垂直加速とクーロン衝突・オーミック電場の競合が電子分布を歪め、その歪みは軟X線スペクトルとして観測されるため、計算と実験の直接比較が可能である。電流駆動では、波による平行方向の非対称な加速が衝突で緩和される過程をフォッカー・プランク方程式が記述し、駆動効率の予測を与える。さらに、ランナウェイ電子の雪崩増殖のように、高エネルギー端での衝突頻度が低く分布の非平衡性が極端な現象も、この枠組みで扱われる。

拡張：新古典輸送、相対論的・高密度プラズマ、分数階フォッカー・プランク

フォッカー・プランク演算子は、トカマクの磁気面に沿ったドリフト運動論と組み合わせることで、新古典輸送の基礎方程式となる。バナナ領域などの解析理論ではモデル衝突演算子を用いるが、線形化ドリフト運動方程式を保存性のあるランダウ・フォッカー・プランク演算子付きで数値的に解くと、実用的な磁気面の縦横比・衝突性の範囲では解析理論と有意に異なる輸送係数が得られることが示されている。ペデスタルでの流れやブートストラップ電流の修正、有限軌道幅効果を含む計算など、精密な新古典評価の基盤となっている。

相対論的速度が重要な場面では、フォッカー・プランク方程式を相対論的運動量空間に拡張した理論が構築されており、弱く結合した高温プラズマの古典輸送係数を相対論的に厳密に求めることができる。また、密度が高くクーロン対数が小さい「中程度に結合した」プラズマでは、通常のランダウ演算子への補正を含むフォッカー・プランク方程式の定式化が研究されており、量子効果を取り込んだ枠組みも提案されている。

一方、速度空間ではなく実空間での異常拡散を記述する方向もある。乱流による粒子や熱の輸送はしばしばガウス的拡散から外れ、サブ拡散のような非ガウス的時間発展を示す。このような系では、拡散項の時間フラクタル化を図った分数階フォッカー・プランク方程式が、熱平衡近傍の異常緩和を統一的に記述する道具として用いられる。これは核融合プラズマの乱流輸送そのものを解く手法ではないが、フォッカー・プランク方程式が「拡散過程の一般形」であることを示す好例であり、速度空間の衝突輸送と実空間の異常輸送を同じ数学的枠組みで眺める視点を与えている。