モンテカルロ法

モンテカルロ法は、乱数を用いた確率的なサンプリングによって物理過程を一粒子ずつ追跡する数値計算法である。個々の粒子がたどる経路を確率法則に従って乱数で決定し、それを多数繰り返すことで分布関数や反応率の統計的推定値を得る。核融合・プラズマ物理では、流体モデルでは記述しにくい速度分布の非平衡性や複雑な三次元幾何形状が本質となる場面、すなわちプラズマ境界での中性粒子の挙動、高速イオンの損失、核融合中性子の遮蔽・放射化評価などに広く用いられており、装置設計から材料評価までの実務を支える標準的な手法となっている。

モンテカルロ法の統計的基礎

モンテカルロ法の核心は、求めたい物理量をある確率過程の期待値として書き直し、その確率過程を乱数で実現して平均を取ることにある。粒子輸送であれば、飛行距離を平均自由行程に従う指数分布から、衝突の種類を各反応の断面積比から、散乱後の方向とエネルギーを微分断面積から、それぞれ乱数でサンプリングする。こうして一つ一つ生成された粒子の履歴（ヒストリー）を多数集計すれば、粒子束や反応率が自然に得られる。このように物理そのものの確率法則をそのまま使う計算をアナログ計算と呼び、系が複雑なほど解析的手法や決定論的手法では扱いにくい利点がここにある。

推定値の誤差は中心極限定理に従い、サンプル数 N に対して 1/√N でしか減らない。誤差を一桁下げるにはサンプル数を百倍にする必要があり、これがモンテカルロ法の根本的な制約である。したがって実用上は、後述する分散低減の工夫が手法の成否を左右する。一方で、誤差が統計量として明示的に評価できること、並列計算に素直であること、幾何形状や断面積データをほぼそのまま入力できることは、核融合装置のような巨大で複雑な対象にこの手法が選ばれる決定的な理由となっている。プラズマ物理への応用では、モンテカルロ計算を単独で閉じさせるのではなく、流体モデルや実験測定と相互に情報をやり取りさせる構成が一般的である。その典型例として、中性粒子のモンテカルロ輸送モデルが流体輸送モデルと電子密度・電子温度などの情報を交換しながら自己無撞着に解を更新し、最終的にラングミュア探針や干渉計の測定値、負イオン生成のモデル予測と突き合わせるという計算の流れを図に示す。

図は、実験測定から与えられたプラズマ条件をもとにモンテカルロモデル（中性粒子輸送）と流体輸送モデル（イオン輸送）が互いに粒子密度や温度をやり取りして収束させ、その結果を負イオン測定およびプラズマモデルと比較するという、結合計算全体の構成を示している。このようにモンテカルロ法は単独の計算法というより、キネティックな情報を供給する部品として大規模シミュレーション体系に組み込まれて使われることが多い。

プラズマ中の粒子輸送への応用

核融合プラズマの境界では、水素や重水素の中性原子・分子がプラズマ中を直進し、電荷交換や電離を繰り返しながら運動量とエネルギーを運ぶ。中性粒子は荷電粒子と違って磁場を感じないため、流体方程式で記述するには速度分布の非平衡性が強すぎる。ここでモンテカルロ法が本領を発揮する。プラズマの密度・温度分布を背景場として与え、中性粒子を一つずつ発生から壁への到達あるいは電離まで追跡すれば、再結合・電荷交換・分子過程を含む中性粒子の空間分布と、プラズマへの燃料供給（リサイクリング）が得られる。大型トカマクにおけるエッジの燃料供給のモンテカルロ解析はこの古典的な応用であり、壁から再放出される中性粒子がプラズマの密度分布をどう規定するかを定量的に評価できる。

この考え方はヘリカル装置の三次元境界にもそのまま持ち込まれている。ヘリカル装置では磁気面が島構造やカオス領域を含むため、二次元軸対称の流体コードでは境界を記述できず、三次元のプラズマ流体コードと中性粒子モンテカルロコードを結合した解析が標準となっている。核融合実験装置 W7-X の島ダイバータ配置に対する三次元自己無撞着計算では、ダイバータ板への熱負荷分布や中性粒子の圧縮が優勢な磁気島の位置と大きさに強く依存することが示され、ストライク点が排気口に近い配置ほどポンプ効率が上がること、そしてポンプ流量とリサイクリング流量の比が分離線密度によらずほぼ一定で、密度制御能力の良し悪しを測る指標になることが明らかにされた。これはモンテカルロ計算が装置設計の意思決定に直接寄与した例である。

荷電粒子についても、背景プラズマ中の高速イオンやテスト粒子の運動をモンテカルロで追う手法が定着している。中性ビーム入射で生成される高速イオンや核融合生成アルファ粒子は、背景分布から大きく外れた速度分布をもつため、軌道とスローダウン、拡散を確率的に追跡するテスト粒子計算が自然な記述を与える。特にプラズマ境界から逃げる高速イオンの損失信号やプラズマ対向壁への熱負荷の評価では、損失粒子の数が本来の分布の中でごく一部しか占めないため統計が不足しがちであり、これを克服する手法として、目的の表面に到達する確率をその表面からプラズマ側へ逆向きにたどる逆方向モンテカルロ法が提案され、到達確率を事前情報として通常の順方向計算に組み込むことで損失信号の統計を大幅に改善できることが示された。また、低圧放電や推進系プラズマのような部分電離プラズマでは、電磁場を格子で解く粒子インセル法（particle-in-cell, PIC）と、粒子間衝突を乱数で処理するモンテカルロ衝突法を組み合わせた PIC-MCC が標準的な手法であり、アルゴン・酸素混合プラズマやマグネトプラズマダイナミックスラスタの加速機構、中空陰極壁への電力沈着などの解析に用いられている。

中性子・光子輸送と遮蔽・中性子学

核融合炉では D-T 反応により 14.1 MeV の中性子が大量に生成される。例えば 500 MW 級の燃焼プラズマでは、第一壁やダイバータが受ける平均中性子束は 10^17 m^-2 s^-1 のオーダーに達する。この中性子は遮蔽体や超伝導磁石、計測機器を貫通するポートを通じて装置全体に広がるため、作業者の線量評価、機器の放射化、トリチウム増殖の評価はいずれも中性子・ガンマ線の三次元輸送計算なしには行えない。モンテカルロ輸送コードは複雑な三次元幾何をそのまま扱えるため、この分野で事実上の標準となっており、実験装置の設計図（CAD データ）から自動的に三次元中性子学モデルを構築して計算に供する試みも進められている。ITER の診断用ポートプラグの遮蔽・放射化解析や、装置周辺の線量率マップの評価などがその代表例である。

中性子と材料の相互作用そのものもモンテカルロ計算の対象である。14.1 MeV 中性子を第一壁と構造材の多層板に入射させ、材料中で生じる二次放射のプラズマ側への逆流を調べた計算では、入射中性子が第一壁のタングステン層とその背後の構造材（フェライト鋼やバナジウム合金など）で散乱・反応することで、二次中性子、ガンマ線、そして光原子反応やベータ崩壊に由来する電子が壁からプラズマ側へ再放出される様子が明らかにされた。

図は、この計算の設定を示したもので、14.1 MeV 中性子が厚さ 0.2〜10 mm のタングステン第一壁層、さらに背後の 1 m の構造材層に入射し、二次中性子・ガンマ線・電子放出が逆向きに戻ってくる様子を模式的に描いている。この計算によれば、二次中性子とガンマ線の逆流束は入射核融合中性子束と同程度に達し、ガンマ線によるランナウェイ電子の種まきや、数 MeV に及ぶ電子放出によるプラズマシース動力学への擾乱など、燃焼プラズマの境界性能への影響が無視できない可能性が示された。材料の放射化に起因する遅発成分を含め、中性子・材料相互作用とプラズマ境界物理を結合して評価する必要性を示す結果である。

分散低減と計算効率

アナログなモンテカルロ計算では、まれな事象に寄与する粒子の履歴がほとんど記録されないため、深い遮蔽の背後の線量や遠方の粒子束のような「到達しにくい量」の統計が極端に悪くなる。これを克服するのが分散低減であり、その中核は重要度サンプリングである。粒子を重要な領域へ偏らせて発生・輸送させ、その代わり各粒子の重みを到達確率で調整して期待値を不変に保つ。代表的な技法がウェイトウィンドウであり、空間をメッシュに区切り、各メッシュに粒子の重みの上下限を設定することで、重要度の低い領域で粒子をロシアンルーレットで間引き、重要度の高い領域で分割して増やす。重みの設定は従来経験に頼るところが大きかったが、予備計算から各メッシュの重要度を自動推定して重みを生成する手法が発展している。粒子密度の均一性、すなわち粒子が全メッシュにむらなく運ばれることを基準に重みウィンドウを自動生成する手法では、ITER の参照中性子学モデルを用いた試験で、アナログ計算に対して効率指標（figure of merit, FoM）が数百倍（637.4 倍）改善することが報告されている。FoM は計算時間と推定値分散の積の逆数で定義される標準的な効率の目安であり、分散低減の効果を定量的に比較するのに用いられる。

もう一つの方向は、モンテカルロ法と決定論的手法のハイブリッドである。輸送方程式を差分法や Sn 法で解けば全域の粒子束の滑らかな概形が安価に得られる一方、複雑な幾何やスペクトルの詳細はモンテカルロ法が得意とする。両者を組み合わせ、決定論的解から重要度分布を作ってモンテカルロ計算の分散低減に供する手法や、メッシュの適応化によって線量率マップの計算効率を高める手法が、大型装置の線量評価で実用化されている。前節の逆方向モンテカルロ法も、広い意味では同じ問題意識——まれな到達事象の統計を稼ぐ——への別の答えであり、到達確率を事前情報として順方向計算に与える点で重要度サンプリングと共通の発想に立つ。

流体モデル・材料モデルとの結合

モンテカルロ法が単独で完結する計算はむしろ少なく、実用では流体モデルや材料モデルと反復的に結合される。結合の基本構造は次の通りである。流体コードはプラズマの密度・温度・流れを与え、モンテカルロコードはその背景場の中で中性粒子や高速粒子のキネティックな分布と、電離・電荷交換・再結合を通じた粒子・運動量・エネルギーの出し入れ（ソース項）を計算して流体コードに返す。この交換を収束まで繰り返すことで、中性粒子の非平衡な速度分布とプラズマの流体応答を同時に満たす解が得られる。前述の W7-X 島ダイバータ解析はこの枠組みの三次元版であり、低圧水素ヘリコンプラズマに対して径方向の流体輸送と中性粒子のモンテカルロ輸送を結合した 1.5 次元モデルのように、より小規模な装置にも同じ構造が応用されている。後者の例では、流体側がイオン輸送を、モンテカルロ側が中性水素分子・原子の輸送を担い、負イオンの生成・損失過程の寄与を分離して実験と比較できることが示されている。プラズマ境界乱流の流体モデルに中性粒子のモンテカルロ輸送を自己無撞着に結合する試みもあり、乱流による中性粒子の輸送への影響を扱う枠組みが整えられつつある。

材料側への結合も進んでいる。プラズマ対向壁での水素の保持と放出はプラズマ性能に直結するため、分子動力学で材料中の水素の拡散や混合材料の形成を調べ、その結果を動的モンテカルロ法やプラズマ・壁相互作用モデルに引き渡す多段階の計算体系が構築されている。また、量子モンテカルロ法による材料中の水素拡散の計算のように、原子スケールの電子状態に対する確率論的計算も材料研究の一角を占める。さらに、PIC-MCC コードの段階的検証のように、モンテカルロ衝突の乱数過程そのものを検証・妥当化する手法の整備も進んでおり、中性子輸送計算におけるプラズマ由来の中性子源分布の自動生成と合わせて、モンテカルロ計算の信頼性を支える基盤技術が一通り揃いつつある。核融合開発が設計から実証の段階へ進むにつれ、モンテカルロ法は粒子・中性子・材料の各スケールを横断して計算体系を結び付ける接続子として、その役割を広げている。